東大生を育てたパパ講師が教える マル秘【数学良問解説】パート③

瀬戸校・

武田塾瀬戸校 最高顧問 内垣内先生の「数学良問解説」③

皆さん お元気ですか? 

「東大生を育てたパパ講師が教える 

東大生の育て方」シリーズでおなじみの

武田塾瀬戸校最高顧問の内垣内です。

 

現役で息子を東大に合格させたノウハウや生活習慣管理術などを中心に、

大学入試の問題解説などもおこなっております!!

 

前回は1991年に東大文系で出題された問題でした。

今回は、

2002年に京大理系で出題された問題を紹介します。

 

東京大学

 

京大の数学入試問題は、

しばしば東大の数学よりも解き難いものが多いと聞きます。

 

確かに「京大らしい」問題は多々あります。

特に、発想力が要る問題が時々出題されます。

 

私は個人的にはこのような発想力の要る数学の問題は

大好きですが、やはり実際の入試本番では

出題されない方が無難だと思っている受験性の方が

多いのではないでしょうか。

 

実際に京大で出題された問題には、

かなり基本的な問題、単純に解ける問題、

入試頻出問題、単なる計算問題も結構あります。 

いわゆる「普通の問題」が解ければ合格点はとれます。

 

さて、本題に入りましょう!

 

  • 半径1の円周上に相異なる3点A, B, Cがある。

 

  • AB² + BC² + CA² > 8 ならば、△ABCは鋭角三角形であることを示せ。

 

  • AB² + BC²+ CA² ≦9 が成立することを示せ。 

 

また、この等号が成立するのはどのような場合か。

 

どうでしょう、この問題は。

私は色々な解法が浮かびました。

 

[解き方1] :  

三角関数で解く方法。

 

外接円の半径が1だから、正弦定理より、

 

AB = 2 sin C,  BC = 2 sin A,  CA = 2 sin B となり、

AB² + BC² + CA² = 4 ( sin² A + sin² B + sin² C )

= 2 ( 1-cos 2A ) + 2 ( 1-cos 2B ) + 2 ( 1-cos 2C ) = 6-2 ( cos 2A + cos 2B + cos 2C )

ここで、 2C = 360°-2 (A +B) より、

= 6-2 {cos 2A + cos 2B + cos 2(A+B)}

= 6-4 cos (A+B) cos (A-B) -2 cos 2(A+B)

= 6-4 cos (A+B) cos (A-B) -2 {2 cos²(A+B)-1 }

= 8-4 cos(A+B){cos(A-B) + cos (A+B) }       ‐‐‐‐‐ ①

= 8-8 cos(A+B) cos A cos B

= 8-8 cos (180°-C) cos A cos B

よって、 AB² + BC² + CA² = 8 + 8 cos A cos B cos C     ‐‐‐‐‐ ②

 

  •  AB² + BC² + CA²> 8 ならば、②より、cos A cos B cos C > 0  ‐‐‐‐‐ ③

もし△ABCが鋭角三角形でないとすると、角A, B, Cの1つが90°以上であり、

他の2つは90°未満である。 90°以上の角のcos は負、90°未満の角のcos

は正であるから、cos A cos B cos C は負となってしまい、③に反する。

よって、△ABCは鋭角三角形である。

 

  • ①式にA + B = 180°-C を代入すると、

AB² + BC² + CA² = 8-4 cos ( 180°-C ){ cos (A-B) + cos ( 180°-C) }

= 8 + 4 cos C{ cos (A-B)-cos C }  ‐‐‐‐‐ ④

ここで、A, B, Cの中には必ず鋭角があるが、それをCとしても一般性は失われない。

このとき、0 < cos C < 1 ,  cos (A-B) ≦1 なので、

④より、AB² + BC² + CA² ≦ 8 +4 cos C ( 1-cos C ) = 9-(2 cos C-1 )² ≦ 9

等号は、cos (A-B) = 1,  2 cos C = 1、 すなわち、A = B,  C = 60°のとき

成立する。 よって、等号は △ABCが正三角形のとき成立する。

 

どうですか、この解法は。 

 

三角関数の公式が自由に使えれば難なく解くことができます。

 

標準的な問題ですので、難しくはないですよね。

 

「解き方2」: 座標を使って解く方法

 

xy座標上の原点をO (0,0)とし、Oを中心とする半径1の円を描き、その円周上の点A, B、C

の座標を、A (x, y), B (a, b) とし、Cを(a,-b) としても一般性は失われない。

ここで、x² + y²= 1,  a≧0,  b >0,  a²+ b² = 1 ‐‐‐‐‐ ① とおける。

AB² + BC² + CA² = ( x-a )² + ( y-b )² + (2b )² + ( x-a )² + ( y+ b )²

= 2 ( x² + y² ) + 2 ( a² + b² )-4 ax + 4b² = 4-4ax + 4 (1-a²) = 8-4ax-4a²

よって、 AB² + BC² + CA² = 8-4a ( a+x )  ‐‐‐‐‐ ②

 

  • AB² + BC² + CA² > 8 ならば、②により、a ( a+x ) < 0 となり、①を考慮すると、

a > 0 であり、 a + x < 0 から、 x <-a となる。

図を描くと分かり易いが、点Aのx座標が-a のとき、△ABCは直角三角形となるが、

この場合、x <-a であるから、△ABCは鋭角三角形となる。

 

  • ②より、9-(AB² + BC²+ CA² ) = 9-{ 8-4a (a+x)} = 4a² + 4ax + 1

= ( 2a + x )² +1-x² = ( x + 2a )² + y² ≧0

よって、 AB²+ BC² + CA² ≦9 が成立する。

等号は、x =-2a,  y= 0 のときに成り立ち、x² + y² =1, a≧0 より、a = 1 /2 となり、

b >0,  a² + b² = 1 より、b = √3 /2 

よって、A (-1, 0 ),  B ( 1/2,√3/2 ),  C (1/2,-√3/2 )

となり、△ABCは正三角形となる。

 

どうですか。 

あなたなら、どちらの解法で解きますか?

 

この問題はベクトルを使っても解けますが、

ここでは省略します。

 

京大では頻繁に図形の問題が出題されますが、

どういう解法を選択するかによって

 

合否が分かれてしまう可能性があります。

 

京大の過去問や類題を数多く演習して、

問題慣れをしておく必要があります。

 

東大生を育てたパパ講師が教える 「良問解説」③はいかがでしたか?

この記事を最後までお読みくださいまして誠にありがとうございました。

このご縁を大切にしていただけたら嬉しいです。

 

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