武田塾瀬戸校の数学良問解説!!第一弾 2002京大理系

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武田塾瀬戸校の数学良問解説!!第一弾 2002京大理系

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武田塾瀬戸校では

「数学良問解説」

と題して、実際の数学の入試問題の中から「良問」と呼ばれる問題について解説しています。

ここでの「良問」とは、

「解くことによって問題を解いた生徒さんが伸びる問題」

のことです。

 

今回は、

2002年に京大理系で出題された問題を紹介します。

数学者のイラスト

京大理系の入試過去問とは?

 

京大の数学入試問題は、

しばしば東大の数学よりも解き方が難しい、「難問」が多いです。

そのような問題は、「京大らしい」問題ともよく言われます。

「京大らしい」問題は、時には発想力が問われる問題です。

 

受験生としては、実際の入試本番では

出題されない方がいいな~と思ってしまいますよね(笑)

 

実際、京大で出題された問題には、

入試頻出問題、単なる計算問題も多いんです。 

つまり、しっかりと受験対策を行っていれば

いわゆる「難問奇問」が解けなくても合格が狙えるんですよ!

 

また、京大では頻繁に図形の問題が出題されます。しかし、解法がいくつかある問題についてはどの解法を思いつけるかによって合否が分かれてしまうこともあるんです。

京大志望で図形が苦手な方はともかく、図形問題が得意な受験生も、

どのようにアプローチすればよいのか考えるところまで問題に慣れることが必要になります。

実際の入試問題を見てみよう

2002年に京大理系で出題された問題です。

 

半径1の円周上に相異なる3点A, B, Cがある。

AB² + BC² + CA² > 8 ならば、△ABCは鋭角三角形であることを示せ。AB² + BC²+ CA² ≦9 が成立することを示せ。

また、この等号が成立するのはどのような場合か。

 

あなたなら、どう解きますか?

様々なアプローチが出来るといいですね。以下に解答例を挙げたいと思います。

school_test_seifuku_girl

解法① 

三角関数で解く方法。

 

外接円の半径が1だから、正弦定理より、

 

AB = 2 sin C,  BC = 2 sin A,  CA = 2 sin B となり、

AB² + BC² + CA² = 4 ( sin² A + sin² B + sin² C )

= 2 ( 1-cos 2A ) + 2 ( 1-cos 2B ) + 2 ( 1-cos 2C ) = 6-2 ( cos 2A + cos 2B + cos 2C )

ここで、 2C = 360°-2 (A +B) より、

= 6-2 {cos 2A + cos 2B + cos 2(A+B)}

= 6-4 cos (A+B) cos (A-B) -2 cos 2(A+B)

= 6-4 cos (A+B) cos (A-B) -2 {2 cos²(A+B)-1 }

= 8-4 cos(A+B){cos(A-B) + cos (A+B) }       ‐‐‐‐‐ ①

= 8-8 cos(A+B) cos A cos B

= 8-8 cos (180°-C) cos A cos B

よって、 AB² + BC² + CA² = 8 + 8 cos A cos B cos C     ‐‐‐‐‐ ②

 

  •  AB² + BC² + CA²> 8 ならば、②より、cos A cos B cos C > 0  ‐‐‐‐‐ ③

もし△ABCが鋭角三角形でないとすると、角A, B, Cの1つが90°以上であり、

他の2つは90°未満である。 90°以上の角のcos は負、90°未満の角のcos

は正であるから、cos A cos B cos C は負となってしまい、③に反する。

よって、△ABCは鋭角三角形である。

 

  • ①式にA + B = 180°-C を代入すると、

AB² + BC² + CA² = 8-4 cos ( 180°-C ){ cos (A-B) + cos ( 180°-C) }

= 8 + 4 cos C{ cos (A-B)-cos C }  ‐‐‐‐‐ ④

ここで、A, B, Cの中には必ず鋭角があるが、それをCとしても一般性は失われない。

このとき、0 < cos C < 1 ,  cos (A-B) ≦1 なので、

④より、AB² + BC² + CA² ≦ 8 +4 cos C ( 1-cos C ) = 9-(2 cos C-1 )² ≦ 9

等号は、cos (A-B) = 1,  2 cos C = 1、 すなわち、A = B,  C = 60°のとき

成立する。 よって、等号は △ABCが正三角形のとき成立する。

 

この解法では、三角関数の公式が自由に使えれば難なく解くことができます。

この解き方は基本的なものなので、思い付いた受験生も多いのではないでしょうか。

では、別解も見てみましょう。

解法➁

この解き方は、座標を使います。

 

xy座標上の原点をO (0,0)とし、Oを中心とする半径1の円を描き、その円周上の点A, B、C

の座標を、A (x, y), B (a, b) とし、Cを(a,-b) としても一般性は失われない。

ここで、x² + y²= 1,  a≧0,  b >0,  a²+ b² = 1 ‐‐‐‐‐ ① とおける。

AB² + BC² + CA² = ( x-a )² + ( y-b )² + (2b )² + ( x-a )² + ( y+ b )²

= 2 ( x² + y² ) + 2 ( a² + b² )-4 ax + 4b² = 4-4ax + 4 (1-a²) = 8-4ax-4a²

よって、 AB² + BC² + CA² = 8-4a ( a+x )  ‐‐‐‐‐ ②

 

  • AB² + BC² + CA² > 8 ならば、②により、a ( a+x ) < 0 となり、①を考慮すると、

a > 0 であり、 a + x < 0 から、 x <-a となる。

図を描くと分かり易いが、点Aのx座標が-a のとき、△ABCは直角三角形となるが、

この場合、x <-a であるから、△ABCは鋭角三角形となる。

 

  • ②より、9-(AB² + BC²+ CA² ) = 9-{ 8-4a (a+x)} = 4a² + 4ax + 1

= ( 2a + x )² +1-x² = ( x + 2a )² + y² ≧0

よって、 AB²+ BC² + CA² ≦9 が成立する。

等号は、x =-2a,  y= 0 のときに成り立ち、x² + y² =1, a≧0 より、a = 1 /2 となり、

b >0,  a² + b² = 1 より、b = √3 /2 

よって、A (-1, 0 ),  B ( 1/2,√3/2 ),  C (1/2,-√3/2 )

となり、△ABCは正三角形となる。

 

この解法を思いつけた方は、数学の学習が進んでいると推察されます。

この方法も、いい解き方といえますね。 

 

ちなみに、この問題はベクトルを使っても解けます。

時間のある人はぜひチャレンジしてみてください!

 

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