数学‘’難問‘’の方針の立て方!! ~場合の数・確率編~

久喜校・

はじめに

皆さんこんにちは!

基礎固めの段階から少し上がって、過去問や入試問題形式の問題演習をしている受験生の皆さんも多いのではないでしょうか?

例えば数学の大問解くときに、初見じゃ解けない、、って思うことありませんか?

なので今回は数学の難問に対してどのようにアプローチするのか、どのように考えていくのかを話していこうと思います。

はじめに言っておきますが、数学の難関大学入試問題なんてほとんど初見で解けるものではありません。そのような状況下でいくら点を取れるかがカギです。決して最後まで解ききれなくても取れるところまで取れるように鍛錬にしましょう。

基本的には、過去問演習を繰り返すことが一番の方法です。そこで自分で考えて解く、分からなくてもすぐあきらめないでいろいろ考えてみることが大切です。

今回は「場合の数・確率」編です。

数学②

確率の問題の方針の立て方

まず、場合の数・確率という分野について話します。苦手な人も多いこの分野ですが、コツをつかんでしまえば必ず得点源になります。

この分野の難しい点は、決まった解き方や方針がない。ということですね。他の分野、例えば積分や軌跡は問題によりますが、大方の問題で方針がブレることはないです。しかし、確率の範囲はぱっと見何をしていいか分からないと感じることが多いと思います。

もう慣れていて自分の方法が確立されている人はそれでいいですが、何をしたらいいか分からない人は以下のようにしてみてください。

確率の問題の方針

①問題を熟読して設定理解に時間をかけよう。

場合の数・確率の問題は問題文が複雑で、分かりずらい問題が多いです。なのでしっかり読まないと勘違いをしてしまったりするし、よくわかっていまいままだと問題が解けません。問題文の設定に時間をかけても大丈夫なので、しっかり読み込んでください。

②具体的な例または数を入れて様子を見る。

さいころが1でたら、nが2のとき、3回目のとき、、などと実際にやってみて様子を見ましょう。ここで大体の答えの検討がつく、または解法が何となくわかってくると思います。

そうしてから解き始めてください。その後は知識量によります。

 

区別するor区別しない


確率をやる上で、一度は悩むところが区別するのかしないのか問題ですがこれにはきちんと答えがあります。

多くの人が間違えて覚えていたり、本質を分かっていないことがあるので今日知ってください。知っていたら、そうそう知ってるよくらいでも構いません。
まず、基本的にすべてのものは区別されるべきなのです。

数字も玉も人も。例えば「25人のクラスからクラスから一人を選ぶ」通りは区別したら25通りですが区別しないと1通りですよね。なので区別しないと意味がないのです。人は当たり前、と思うかもしれないですが玉に置き換えても同じです。
しかし、、「場合の数」においてはすべてを区別すると数が多すぎて大変になってしまいます。なのでその事象が「同様に確からしい」というときのみ区別しないことが許されているのです。


例えば二つのサイコロ問題は必ず区別しますよね。区別しないと(1.2)と(2.1)が同じということになります。そうすると(1.1)にくらべて(1.2)の出やすさは二倍になります。これは同様に確からしくないのでだめですね。


次に場合の数における玉の問題です。

順列や組み合わせの問題では「違う並びのものを数える」というのが根本にあります。既出のパターンと同じに見えたらそれは同じパターンとみなされます。

これは同じ色は区別しません。順列や組み合わせでは違う並びのものを数えていくので、既出の並びと同じに見えたら同じパターンとみなされます。

もし色が違えどすべての玉を区別したら階乗を使えばいいだけですから、何のひねりもない問題になってしまいます。結論としては特に指定がなければ同じ色の玉は区別しません。


ではこの玉の問題が確率をだす問題だったら?これは必ず区別します。確率が知りたいのは「そのパターンの頻度」です。例えばAパターンが二倍出やすいとか。

例えば赤が2個、白が1個だったら赤が二倍出やすいことを伝えたいので入れ替えて同じとしてはいけません。結論、確率の問題は区別します。

あたり1本、外れ100本のくじがあったとします。

その場合、「場合の数」は2通り、確率は1/101です。はずれ100本を区別なしなのが場合の数。

確率は全てを区別している。という風にまとめることが出来ます。


今まで書いたことをまとめると、、
【順列・組み合わせなどの場合の数のときは特に理がなければ、同じパターンは区別しない。確率の場合は例外なくすべて区別する。】これが言いたかったことです。是非この考え方覚えていってください。

共通テストでの場合の数・確率の問題

共通テストが近づいていますので、その傾向と対策についてもお話しします。

皆さんは試行問題はもう解きましたでしょうか?

見てみれば分かる通り、問題文がとてつもなく長いです。生徒同士の会話文から出題されていますね。

数学

なので長い問題文に惑わされないようにするために、問題文を整理して、条件やゲームのルールなどメモしておくとかなり頭の中がすっきりします。

そして出題パターンもあまり多くはないので、練習すれば得点源になります。

場合の数・確率が出題されるのは、大問3ですが、大問3~5は選択問題になっています。そのうち2題を自分で選ぶので、本当に苦手な人はやらないというのも手だとは思います。

しかし、初めからやらないと決めてしまうのはもったいないです。3題のうち、この年はどこかが発展問題かもしれません。残りの二つに決めてしまってその二つがとても難しかったら?

確率を勉強しておけばよかったと思いますよね。なので今は全般的に勉強しておくことをお勧めします。

終わりに

場合の数・確率は決まった解法がなく難しい分野ですが、最初からすぐに何をするべきなのかわかる人は少ないと思います。

どこの分野にも共通して言えることですが、すぐにあきらめないで自分でじっくり考えてみる。間違えても解答解説を読んで、自分で理解するまで読む、解きなおす。というものの繰り返しです。

解法暗記ももちろん重要ですし、大前提ですが自分で考える力を身に着けることも忘れないでください。

 

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