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今回は
数ⅠA整数問題
【受験数学 偏差値アップ講座 】
フェルマーの最終定理 (n=4)
でお送り致します。
(スポンサー募集中です)
n=3の場合の証明は画像をクリック！
解答に至るまでのプロセスを丁寧に解説しています。
今回も
無限降下法を使用せず
一般的な受験数学の整数問題解法を使用して解いています。
･数学ができるようになりたい
･整数問題をもっと解けるようになりたい
･とりあえず読んでみようかな～
いずれかに当てはまる方、
ご覧ください。
整数問題解法プロセス
整数問題も数ⅠAの中で
確率同様、苦手意識を持つ方は比較的多い印象です。
【整数問題の解法】
･不等式を作って範囲を絞り込む
･グラフ化する
これらをマスターすれば、難問と言われる問題でも
十分対処は可能です。
◆不等式を作る◆
今回も、zに関する不等式を作ることで
(x,y,z)の解の可能性を絞り込む方針でいきます。
以下、フェルマーの最終定理(n=4)の証明になります。
フェルマーの最終定理 (n=4)を証明する
フェルマーの最終定理とは？
フェルマーの最終定理とは
n≧3を満たす自然数nに対して
x^n + y^n = z^n
を満たす自然数(x,y,z)の組は存在しない。
数学界で多くの学者が立ち向かい
頭を悩ませた難問です。
(ただし、nが具体的な数字でなく文字で置いた場合の話)
n=4のとき、自然数解を持たないことを証明する
【問題】
x4^+y^3=z^4
これを満たす自然数(x,y,z)の組は存在しないことを示せ
◆解く前に、検討と方針を立てる◆
解く前の検討と方針について。
4乗和はそのまま因数分解をできない
↓
y^4=z^4-x^4
の形にすれば因数分解できる。
あとは
(x,y,z)の条件から不等式を作る
初期段階はこの程度でOKです。
(z^2+x^2)(z+x)(z-x) = y^4
↓
あとは、組み合わせ方で場合分けすれば良い
(n=3のときと考え方は同じ)
後は
それぞれの場合について自然数解をもたなければ、
背理法が成立し題意を満たす。
これで証明できます。
(これもn=3のときと同じ)
◆場合分けしてそれぞれ検討する◆
(z^2+x^2)(z+x)(z-x) = y^4
今回は、(x,y,z)の条件から
あっと言う間に絞り込めます。
◆不等式を作る◆
x4^+y^3=z^4より
z>x , z>yが成り立つ。
(x,y,z)は自然数(≧1)より
(z^2+x^2),(z+x),(z-x)の大小関係は
z-x<z+x<z^2+x^2
であると分かる。
これらを掛け算して= y^4
となることより、
z-x=1
z+x=y
z^2+x^2=y^3
と限定される。
≪ポイント≫
3つの数の積がyの4乗
↓
それぞれの数がyの何乗になっているか？
(それぞれの数にyを何個ずつ分配しているか？
という考え方でもOK)
3つの数の大小関係が分かれば
その組み合わせ方は限定される。
ここを押させておけば先は見えます。
◆解く◆
z-x=1 ････････････ ①
z+x=y ･･･････････ ②
z^2+x^2=y^3 ･･･③
この連立方程式を解き、
(x,y,z)の内一つでも自然数解を持たなければ
背理法が成立し、証明できたことになります。
では、解きましょう。
①式+②式より
z=(y+1)/2
②式-①式より
x=(y-1)/2
これらを③式へ代入して
((y+1)/2)^2+((y-1)/2)^2 = y^3 ････ ④
④式が自然数解を持たないことを示せば証明終わりです。
式を整理して
y^3=(y^2+1)/2
⇒ 2y^3-y^2-1=0
⇒(y-1)(2y^2+y+1)=0 ････ ⑤
2y^2+y+1>0より
(平方完成すれば分かります)
⑤式はy=1のみを解に持つことが分かります。
y=1を
x=(y-1)/2へ代入して
x=0となり、自然数とならないので不適
≪証明終≫
~あとがき~
文系･理系問わず
数学は解き方が見えない内はしんどい科目です。
私もこうしてブログで解説していますが、
全然勉強していなかった中学生時代は
数学で地獄を見ています。
(高校入試の時です)
ですが、分からないなりに
･図に書き出す
･式をただ解くのでなく、それが持つ意味を考える
こうしたことを盆も正月も毎日繰り返し演習を積む内に
自然と解法が頭の中に出てくるようになりました。
本当の学力を得るには
自学自習ってやはり必要です。
皆様にはまだまだ伸びしろが存在します。
勉強はやれば大概のことは出来てしまうものです。
後は
･方向性
･勉強法
こうしたものに具体性を持たせてあげれば
と考えています。
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