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今回は
数ⅠA整数問題
【受験数学 偏差値アップ講座 】
フェルマーの最終定理 (n=3)
でお送り致します。
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今回の記事は
受験数学でありながらも
半分は趣味で解いてます。
無限降下法を使用せず
一般的な受験数学の整数問題解法を使用して解いています。
･数学ができるようになりたい
･整数問題をもっと解けるようになりたい
･とりあえず読んでみようかな～
いずれかに当てはまる方、
ご覧ください。
整数問題解法プロセス
整数問題も数ⅠAの中で
確率同様、苦手意識を持つ方は比較的多い印象です。
【整数問題の解法】
･不等式を作って範囲を絞り込む
･グラフ化する
これらをマスターすれば、難問と言われる問題でも
十分対処は可能です。
◆不等式を作る◆
実際に今回の問題で作ってみましょう。
以下、フェルマーの最終定理(n=3)の証明になります。
フェルマーの最終定理 (n=3)を証明する
フェルマーの最終定理とは
n≧3を満たす自然数nに対して
x^n + y^n = z^n
を満たす自然数(x,y,z)の組は存在しない。
n=1,2のときは解が存在する
n=1,2の時は自然数解(x,y,z)の組は存在します。
n=1のとき
x+y=z
を満たす自然数(x,y,z)の組み合わせ
これは無数に存在します。
3つの内、2つが自然数なら
残る1つは確実に自然数です。
n=2のとき
x^2+y^2=z^2
これを満たす自然数(x,y,z)の組み合わせを考えます。
ピタゴラスですね。
三平方の定理を考えて
直角三角形の三辺の長さで全て自然数となるもの
これが頭の中で出てくればOKです。
たとえば
(x,y,z) = (3,4,5)
あるいは
(x,y,z) = (5,12,13)
でも解として成立しますね。
【重要ポイント】
式を見たら、
その式に相当する図形があるかどうか
これを問題を解くときに常に意識してください。
(今の例なら、2乗和⇆直角三角形)
それだけでも数学の学力は相当変わります。
n=3のとき、自然数解を持たないことを証明する
【問題】
x^3+y^3=z^3
これを満たす自然数(x,y,z)の組は存在しないことを示せ
◆解く前に、検討と方針を立てる◆
こちらの記事でも解く前の検討と方針について触れています。
良ければご参照ください。
【高一生向け 数学で偏差値70を出す方法】
～場合の数･確率の解法～
画像をクリック！
x^3+y^3
は因数分解できる
↓
(x+y)(x^2-xy+y^2) = z^3
あとは、組み合わせ方で場合分けすれば良い。
※ 参考書でもよく出てくる解法です。
↓
後は
それぞれの場合について自然数解をもたなければ、
背理法が成立し題意を満たす。
これで証明できます。
◆場合分けしてそれぞれ検討する◆
(x+y)(x^2-xy+y^2) = z^3
これを以下のように場合分けします。
(ⅰ)
x+y = 1
x^2-xy+y^2 = z^3
(x,y)は自然数より
x+yの最小値は2となり、
x+y = 1を満たす(x,y)は存在しない。
よって不適。
(ⅱ)
x+y = z ･････････････････①
x^2-xy+y^2 = z^2 ････②
①式を②式へ代入して
(x+y)^2-2xy = z^2
↓
z^2xy = z^2
2xy = 0 ･･････ ③
(x,y)は自然数より
③式を満たす自然数(x,y)は存在しない。
よって不適
(ⅲ)
x+y = z^2 ････････････ ①
x^2-xy+y^2 = z ･･････②
《ワンポイント》
x+y = (x^2-xy+y^2)^2
として解こうとすると計算が面倒になる…
さて、どうしようかな…
↓
ここで
【整数問題の解法】
･不等式を作って範囲を絞り込む
という考え方を常に持っていれば、
対処可能です。
◆不等式を作って、解を絞り込む◆
(ⅲ)
x+y = z^2 ･･････････ ①
x^2-xy+y^2 = z ････ ②
を解決するのに、元々の式
x^3+y^3=z^3
よりzの範囲を考える。
(x,y,z)は自然数より、n≧3を満たす自然数nに対して
x^n,y^n,z^nは全て単調増加である。
かつ、
x^n+y^n = z^n
より
z>xかつz>yが成り立つ。
二つの不等式を足すと
2z>x+y
↓
z>(x+y)/2 ････ ⓐ
二つの不等式を掛けると
z^2>xy････････ ⓑ
が成り立つ。
①式とⓑ式を連立させて
x+y>xy
↓
xy-x-y<0
↓
(x-1)(y-1)-1<0
《ワンポイント》
この式の形を作るのは、市販の参考書でも頻出
xy-x-y<0を見た時点で、
(x-1)(y-1)-1<0が
即座に頭に出てこなければならない。
(x-1)(y-1)<1 ････ ©
©式を満たすには
(x,y)は自然数より
(x-1)、(y-1)の少なくとも片方は0でなければならない。
⇒ (x,y)に関する絞り込みが可能となる。
(a)
y-1=0のとき
y=1を①、②式へ代入して
xが自然数解を持つかを確認する。
1+x=z^2
1-x+x^2=z
両式より
x^3-2x^2+3x-3 = 0 ････ ⓓ
ⓓ式が自然数解を持つか検討する
↓
※ xが自然数解を持たなければ、
その時点で(a)は不適となるため。
xの3次式が自然数解を持たないと証明する
↓
f(x) = x^3-2x^2+3x-3
とおいて、
x軸と交わるところが
自然数ではないと示す。
↓
x軸と交わるところが
自然数とそれより1大きい自然数の間にある
ことを示す。
(これは学校でも習っているはずです)
(※ 3次関数や微分は一般的に習うのは高二です。
まだ習っておられない方にはごめんなさい🙇)
f(x) = x^3-2x^2+3x-3
↓
f'(x) = 3x^2-4x+3>0
(平方完成すれば分かります)
つまり、
単調増加なので、解は一つのみです。
あとは、f(x)の正負の逆転を調べます。
x≧1より
f(1)=-1<0
f(2)=3>0
つまり、1<x<2の間に解を持つので
xは自然数解を持たない。
よって(a)は不適。
(b)
x-1=0のとき
x+y, x^-xy+y^2
両式に対象性が有るため、
結果は(a)の場合のxがyに置き換わるだけである。
つまり、yが自然数解を持たないので不適。
(c)
x-1=y-1=0のとき
x+y=z^2へ代入して
z^2=2
zが自然数解を持たないので不適。
よって(a)～(c)より
(ⅲ)は不適となる。
(ⅳ)
x+y=z^3
x^2-xy+y^2=1
z^3が出てきます。
先程の
z>(x+y)/2
z^2>xy
この2式からz^3が出てくる形を作れば良い
↓
(x,y,z)は全て自然数でべき乗しても単調増加のため、
上記2式を掛け合わせて
z^3>xy･(x+y)/2
↓
x+y > xy･(x+y)/2
⇒ xy<2
(x,y)は自然数なので
これを満たす自然数(x,y)の組は
(x,y)=(1,1)
のみとなる。
x+y=z^3 へ代入すると
z^3=2
となり、zは自然数解を持たない。
よって(ⅳ)は不適。
以上、(ⅰ)～(ⅳ)より
n=3のとき
x^3+y^3 = z^3
を満たす自然数(x,y,z)の組は存在しない
≪証明終≫
~あとがき~
高校生の方々のご意見
数Ⅲが難しい…
一番簡単なのが数Ⅲです。
入試問題として応用の利かせ幅が狭いためです。
体積算出で東大理類がたまに難易度の高い問題を出しますが。
つまり、
土台の理論が易しいⅠAやⅡBの方が
難問を作りやすい
という特徴があります。
勿論、これに気付いておられる方もいますが。
皆様にはまだまだ伸びしろが存在します。
勉強はやれば大概のことは出来てしまうものです。
後は
･方向性
･勉強法
こうしたものに具体性を持たせてあげれば
と考えています。
･数学が苦手な方
･もっとできるようになりたい方
･勉強法を習得したい方
･なんとなく、やってみようかな～という方
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