【高一生向け数学で偏差値70を出す方法】～場合の数･確率の解法～

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今回は
数ⅠAの中でも苦手…という方が多い
「場合の数･確率」
これをテーマに
【高一生向け数学で偏差値70を出す方法】
～場合の数･確率の解法～
でお送り致します。
(スポンサーは付いておりません)

文系・理系問わず重要な単元です。
数学が苦手な方から得意な方まで
この記事は幅広く読んでいただけるように仕上げています。

･場合の数･確率をどう解いて良いか分からない…
･場合の数･確率をもっと解けるようになりたい
･高1の時点で模試で偏差値70以上出したい

いづれかに当てはまる方、
ごゆっくりしていってください。

math

※この記事は私が講師時代に書いたものです。
(当時の校舎長にブログ書いて^^ とお願いされて書いたものです)

場合の数の解法プロセス

場合の数・確率は苦手な人が多い……
今、講師という立場になって思う事……
（10数名生徒さんを担当させて頂いています）

何故、こういう傾向が出るのか？
原因と対策を挙げたいと思います。

◆「並び」･「組み合わせ」の違いを理解する◆

公式
【nCr】
【nPr】

【n個の中からr個を選ぶ】
➤ 【nCr】
【n個の中からr個を選んで並べる】
➤ 【nPr】

という
言葉の違いを理解することが重要です。

◆組み合わせ◆

【例】
≪組み合わせ≫
1～10の異なる10個の数の中から3個を選ぶ。

組み合わせを
(1,2,3) とする。
………
組み合わせなので
（1,2,3）
（1,3,2）
（2,1,3）
（2,3,1）
（3,1,2）
（3,2,1）
➤ 6つの組合せは全て同じ
➤➤ 組合せ = 1通り

◆並び◆

≪並び≫
一つの組み合わせ
(1,2,3)の中の要素 1と2と3の並び
（1,2,3）
（1,3,2）
（2,1,3）
（2,3,1）
（3,1,2）
（3,2,1）
➤ 6つの並びは全て異なる
➤➤ 並び = 6通り(=3!通り)

つまり
nPr = nCr・r！
公式は暗記せずとも導出可能
（公式と呼ぶほどのものではありません）

んなもん、分かっとるわ( 一一)という方
多数おられると思いますが、
問題で文章化されると気付かなくなるんです。

◆問題文を読み「並び」「組み合わせ」どちらで解くのかを判断する◆

【🌸重要ポイント🌸】
問題文から数学的な中身を読み取ることが
実は受験数学で最も重要なことです

問題文の言葉⇒数学的理論
というある種の翻訳のような作業を
問題を解き始める前にやっている訳です。

受験の数学は、
これが自然に頭の中で出来るまで徹底的に演習すれば、
どんな人でも偏差値60程度は必ず達成できます

これは【場合の数･確率】に限りません。
数学全てに通じます

◆理論を確認しながら演習◆

【問題】
ｎを自然数とし、
ｎ個のボールを3つの箱に分ける。
それぞれ何通り存在するか？
ただし、空箱はあっても良い

(1) 3つの箱に区別有り、ｎ個のボールに区別有り
(2) 3つの箱に区別無し、ｎ個のボールに区別有り

◆解く前に検討して、解法の方針を立てる◆

《解法プロセス》
箱に区別が有る場合と無い場合を
図示して違いを探る
(検討)
↓
(1)(2)をどう解くか
解法の方針を立てる
↓
式を立てる
↓
計算する

♠検討♠

【ポイント】
《文字だと分かりにくいので、適当に数字を入れてみる》
➤ 具体的に例えば ｎ＝10 とする。

今回、ボールに識別が有るのは(1)(2)共通なので
箱に(A,B,C)という識別を付けて両者の違いを確認します。

(ⅰ) 箱に区別有り
3つの箱に入ったボールの数を例えば
(A,B,C) = (1,6,3) とします。
(Aの箱に1つ、Ｂの箱に6つ、Ｃの箱に3つ)
但し、ボールの番号は(ⅰ)(ⅱ)共に同じとします。

※ 簡単なマンガレベルで良いので
図を描いた方が分かりやすいです

自分で具体例を作る
↓
そこから抽象的な理論を探る
こうした方法です。

この例だと
･Aの箱(1) → 1個
･Bの箱(3,4,7,8,9,10) → 6個
･Cの箱(2,5,6) → 3個

これをもし
1個の箱 → (1)
6個の箱 → (3,4,7,8,9,10)
3個の箱 → (2,5,6)

この組み合わせを変えずに
入れる箱だけ変えたとします。

例えば
Aの箱に(1)
Bの箱に(2,5,6)　
Cの箱に(3,4,7,8,9,10)
とすると、
(A,B,C) = (1,3,6) となり
異なる場合の数ということになります。
つまり、(1)は
並びで考えるということになります。

(ⅱ) 箱に区別無し
箱に区別がなければ

(1,3,6)と(1,6,3) は
同じ組み合わせですよね。
つまり、(2)は
組み合わせで考えるということになります。

♣解法の方針を立てる♣

【検討】から
箱に区別が無い場合×3! = 箱に区別が有る場合
というのが分かります。

つまり
⇒ (1)を求める
⇒ (2)は(1)の解を3!で割る
この辺りまでは頭の中にあるでしょう。
(後で解説しますが、(2)は注意点が必要です！)
（ここまでが、解くための前準備です）

♥式を立てる♥
(今回はついでに計算までやっていまいます)

~解きます~
(1) ボールは異なる3つの箱のいずれかに入る。
空箱はあっても良いので、
n個のボールはそれぞれ3通りずつの入り方がある
求める場合の数は 3^n　通り

(2)
(1)で求めた場合の数を3！で割れば良い
ただし、注意点があります。

【解法の方針】で述べた理論を適応させて解くので

(a) 空箱が0個の場合
(b) 空箱が1個の場合
(c) 空箱が2個の場合
全ての場合で3!で割って良いかを要確認
これも
いくつか具体例を作れば分かりやすいので
具体例を図示してみる

(a) 空箱が0個の場合

箱の区別を無くすと、
並べ方は3!通り。
組み合わせとしては
(1,6,3) = (1,3,6)
1通り

(b) 空箱が1個の場合
aaz
(a)と同様。
並びは3!通り
組み合わせとしては
(0,6,4) = (6,0,4)
1通り

(c) 空箱が2個の場合

並びは
3通り
組み合わせとしては
(0,10,0) = (10,0,0)
1通り

以上から
(a)(b)に関して
(1)で求めた数÷3！

(c)に関して
1つの箱に全てのボールが入る
→ 3通りしかない
… 3！で割るとおかしい！
これに気付いてください
これを満たす組み合わせは1通りです
(3÷3)

よって、(a)(b)(c)より

(a)(b)の並びの場合の数は
(1)全体から(c)の並びの場合の数を引いて
3^n - 3 (通り)
これを3!で割れば組み合わせの数が出る。

(c)は組み合わせとして1通り

求める場合の数は
(3^n - 3)/3！+1 ＝ (3^(n-1) + 1 )/2 (通り)

※ この問題は昔の東大の問題(一部抜粋)ですが、
「並び」･「組み合わせ」の
基本を理解していれば解けます
gou

大事な事は
問題文から「並び」･「組み合わせ」
どちらで解けば良いか？の判断ができる
ということです。

日々勉強に打ち込んでいるブログ閲覧者の方々、
今回の記事をご自身の勉強のご参考までに

☆武田塾で使える数学の参考書☆

◆基礎固め◆

･数学基礎問題精講

･Focus Gold

オススメはこの2冊
ただし、
Focus Goldは難易度が☆～☆☆☆☆まで分かれており、
初期の段階では☆☆☆☆(☆☆☆)辺りは手を出さなくても良いです。
(勿論、解き方が分かる･粘れば分かりそうな方は解いてみてください)

◆それ以上のレベル◆

まだ高1の方はここまでやる必要は無いと思います。
無論、基礎が理解できていれば、
学校で取得している単元はどんどん難易度を上げれば良いのですが。
参考までに紹介しておきます。
ご興味ある方、画像をクリック！

この記事の中に数学のオススメも記載しています。
但し、基礎レベル以上ばかりですが。