【八事の中学生必見】分数の約分忘れをなくす3つの手順を教えます!

八事いりなか校・

数学で「分数が苦手」という方は多いのではないでしょうか。

分母と分子、両方に偶数が入っていれば

「少なくとも2で約分できる」ということが分かります。

しかし、「分母と分子に少なくとも1つ、奇数が混じっている場合」に

正答率が大幅に落ちる傾向にあります。

もっとも、2で約分を続けていって

「分母と分子に少なくとも1つ、奇数が現れた」場合、

そこでまだまだ約分できるにも関わらず約分をやめてしまい、

結局「不正解」という方もいます。

いきなりですが、問題です。

 

(問)次の①~⑥を約分せよ。

分数の問題

 

 

約分は、3パターンの解法を押さえよ!

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その1 九九レベルの約分は、「2, 3, 5の倍数」を考えよ!

上の(問)の①と②は、まず2, 3, 5の倍数で約分できるかどうかを考えます。

(こちらは小学生レベルの問題になります)

このうち、2, 5の倍数の性質は比較的答えやすいのではないかと思います。

◆2の倍数=偶数

◆5の倍数=下1桁が5または0で終わる数

しかし、3の倍数の性質は?と聞かれたとき、すぐに説明できますか?

◆3の倍数=各桁の和が3の倍数

実は、約分の時に「3で割れるかどうか」を見落とす人が結構います…。

 

例えば、4桁の自然数「3507」があったとします。

これは3の倍数でしょうか?

3の倍数かどうかを確かめるために、各桁の数字を1つずつ足し算していきます。

3507:3+5+0+7=15

15は3の倍数なので、3507は3の倍数ということが出来ます。

え、なんで?となっている方へ、簡単に証明を載せておきます。

3の倍数の証明

もちろん、何桁の整数でも同様に証明することが可能です。

これで、①と②は間違えることなく約分が可能となります。

(④でも3の倍数の性質を利用します)

分数の問題1,2

 

その2 素因数分解を用いよ!

まず、質問です。

素因数分解とは何か、説明できますか?

素因数分解とは、ある正の整数を「素数の積の形で表すこと」です。

では、素数とはどのような数なのでしょうか?

答えは「1と自分自身(の数)以外に約数を持たない正の整数」です。

 

少し話が脱線しますが、

数学は他教科と違って用語を答えさせる問題が出ないので、

用語の意味を軽視しがちです。

しかし、用語の意味をしっかり説明できる状態にしておかなければ

何を求めればよいのかが分からなくなってしまいます…。

 

話を戻しましょう。

100までの素数は25個あります。

(2は偶数で唯一の素数です。1は約数が1だけなので素数ではありません)

これくらいであれば、覚えておいた方が得ですね♪

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,

53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

 

では、63を素因数分解してみましょう。

63は3の倍数なので

63 = 3 × 21

21も3の倍数なので

63 = 3 × 3 × 7 と表すことが出来ます。

 

次に、奇数の約数を見つけるコツですが、

・3, 5のいずれの倍数でもなければ7の倍数を疑う。

・それ以外では、11以降の素数で割れないか試す。

上記2つを試してみてください!

 

例えば、③の場合。

分数の問題3-1

まず26を素因数分解し、

26=2×13 の状態にします。

分数の問題3-2

ここで、91に注目します。

一見91は素数っぽく見えますが、91を13で割ってみましょう。

91=7×13 となり、7と13を約数に持つことが分かります。

よって、③は以下の通り約分することが出来ます。

分数の問題3-3

④の場合はどうでしょうか。

分数の問題4

まず、147を素因数分解しましょう。

147の各位の数を足し算すると、1+4+7=12となり、

3の倍数だということが分かります。

147=3×49=3×7×7 となります。

252についても3の倍数なので

252=3×84 となります。

ここで、84が7の倍数かどうか調べます。

これは、147の約数である49が7でしか割ることが出来ないためです。

84=7×12となり、84は7の倍数であることが分かります。

したがって、約分は次の通りに行うことが出来ます。

分数の問題4-2

 

その3 素数同士の積になっていないかどうか確かめよ!

⑤と⑥はかなり厄介です。

まずは⑤から見ていきましょう。

分数の問題5

この場合は、分母と分子のうち「小さいほうの数」を選びます

11×11<133<12×12より、

{3, 5, 7, 11}の素数で割り切れないかどうか確認する作業を行います。

3と5では割れませんが、7だと割り切れます

133=7×19

次に、209を7, 19で割り切れるかどうか確かめます。

7では割れませんが、19だと割り切れます

209=11×19

したがって、⑤は以下の通り約分が出来ます。

分数の問題5-2

これと同じ要領で⑥も解けます。

一度、みなさん自身で試してみてください!

(⑥の解答)

分数の問題6

 

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