豊田市周辺にお住まいの皆様、および武田塾生の皆様こんにちは！
逆転合格専門の予備校・個別指導塾の武田塾豊田校です！
いよいよ受験学年になって本格的にお勉強をはじめようとおもっている方も多いかと思ます。ただ、受験用の問題ばかりやって頭がカチコチになってしまってはだめですよね。というわけで、今回はあまり受験数学チックではない一風変わった問題を紹介します。もちろん、特別な知識なんてまったくいらないので安心して挑戦してみてください。
問題
ハンターと見えないうさぎが平面上でゲームを行う. うさぎが最初にいる点A(0) とハンター
が最初にいる点B(0) は一致している. n-1 回のラウンドが終わった後, うさぎは点A(n-1) におり, ハン
ターはB(n-1) にいる. n 回目のラウンドにおいて, 次の3 つが順に行われる：
(i) うさぎはA(n-1) からの距離がちょうど1 であるような点A(n) に見えないまま移動する.
(ii) 追跡装置がある点P(n) をハンターに知らせる. ただし, P(n) とA(n) の距離が1 以下であるというこ
とだけが保証されている.
(iii) ハンターはB(n-1) からの距離がちょうど1 であるような点B(n) に周りから見えるように移動する.
うさぎがどのように移動するかにかかわらず, またどの点が追跡装置によって知らされるかにかか
わらず, ハンターは10の9乗回のラウンドが終わった後に必ずうさぎとの距離を100 以下にすることがで
きるか.(参照URL:https://www.imo-official.org/problems.aspx)
解説風解答例
できない、ということを証明する。そのためには、うさぎが追跡装置を条件を満たす好きなところに出せて、うまく立ち回れば、ハンターはどのように動いても距離を100以下にできないことがある、ということを示せばよい。まず、うさぎの戦略として1から200ラウンドまで同じ直線状に追跡装置を出現させる、というのを考える。201ラウンド以降も200ラウンドごとに同様の操作を続ける。この操作の見つけ方の例としては、うさぎはハンターをできるだけ迷わせて動きを制限したいと考える、といところからきてます。200という数字はすぐにでてきたものではありません。とりあえずmとおいてやってみるとわかります。そして、この戦略のもとではハンターは追跡装置を結んでできる直線状を動くのが最善でせす。といのも、ハンターからしたらその直線の上下どちらでもうさぎが同じ動きを出来るためです。そして、この直線をx軸、ハンターの位置を原点としてxy座標をとり、うさぎの位置を(ラウンド数をnとして)d(n)とおくと、うさぎがx軸となす角θ(ただしsinθ=1/200)の向きに一直線に進むとすれば(d(n+200))^2>(d(n))^2+1/2ということが単純計算により容易に分かる。すると2×10^6ラウンド後には100より離れていることがわかる。(終)
感想
いかがでしたか？いわれれば何でもないように思えますが、自ら思いついて条件をつくっていくのがおもしろい問題でしたね。このような発想力重視タイプの問題をもっと解いてみたい方は是非武田塾豊田校までいらしてください。講師がマンツーマン指導で徹底的にやりますよ。
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