こんにちは、武田塾小牧校です。
先日、YouTubeを空き時間に見ていた時にとても興味深い動画を見つけました。多くの人が知っているであろうオリエンタルラジオ中田敦彦さんが投稿した動画で、ある数学の定理についての動画でした。
そのある定理とは、フェルマーの最終定理というものです。今回は、この定理について紹介したいと思います。
目次
フェルマーの最終定理って？
皆さんご存知のピタゴラスの定理（三平方の定理）を思い浮かべて見てください。
X^2＋Y^2=Z^2という式が出てくると思います。これを満たす(X,Y,Z)の自然数の組み合わせは(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13)などのようにたくさんあり、これは無数にあるということがすでに証明されています。
では、X^n＋Y^n=Z^n (n=3,4,5,…)を満たす(X,Y,Z)の自然数の組み合わせは存在するかどうか考えてみてください。
見つけられたでしょうか？結論を言えば、これを満たす組み合わせは存在しません！これがフェルマーの最終定理というものです。なぜ最終定理と呼ばれるのかというと、17世紀に生きた、裁判官ながら数学者でもあったフェルマーが多くの定理を証明できた、と数学書の「算術」という書物の余白に書き込みました。
彼の死後、あらゆる数学者が書き込まれたたくさんの定理を証明していく中で、この定理が一番最後まで残り続けたからです。。
数学者による努力の変遷
17世紀にフェルマーがこの定理を証明できたと伝え残してから、多くの数学者たちを苦しめてきました。
この定理を完全に証明するには至りませんでしたが、数学の教科書に出てくるオイラーの多面体の定理を証明したオイラーはn=3の場合を証明し、ジェルマンという人物はn=5の場合を証明することに成功しました。他にもn=7,14の場合も他の人物によって証明がなされています。
この定理の証明において、どんな自然数に対しても成り立つことを証明する必要があるため、彼らの特定の自然数の証明だけでは不十分でした。
しかし、この定理が完全に証明されることがないまま300年の時が経った時、数学者アンドリュー・ワイルズが現れました。
彼は、10歳の時にフェルマーの最終定理と出会い、数学者としてこの定理を証明するために研究を続けました。フェルマーの最終定理に関する他の定理や予想を用いて、ついに1993年、フェルマーの最終定理の証明を発表しました。
そして、2年間の修正の時を経て、1995年に完全に証明されたとされ、晴れてフェルマーの最終定理は定理として認められたのです。
自分たちが生まれる数年前に証明されたと考えると驚きですよね。未だに数学は発展し続けていることがわかります。
※数学的には、完全に証明されてはいないが、正しいと見て良いとされる法則のことを予想と呼ぶため、この定理が証明される前はフェルマーの予想と言われていました。
偉大な数学者が証明した定理
偉大な数学者が苦労して証明してくれた定理を自分たちが使って、数学を勉強していると考えると、数学に少しでも興味が湧いてくるのではないでしょうか。
定理の中には、大昔に証明された定理もあれば、フェルマーの最終定理のように最近証明された定理もあり、未だに証明されておらず定理となっていない予想もあります。
そんな数学の発展を目にすると、次はどんな予想がこれから証明されるのか期待してしまいますね。
フェルマーの最終定理に興味を持った方はぜひ、勉強の間に動画を見たり、資料を見たりしてより詳しく調べて良いかもしれません。
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