こんにちは！西鉄香椎駅徒歩1分、JR香椎駅徒歩4分にある大学受験専門「日本初！授業をしない武田塾香椎校」です。
今回は「【数学】解法が浮かばないときに、絶対やった方がいいこと」についてご紹介していきます。
今回は、数学で解法が浮かばないときの話
今回の話は
私立大学ではMARCHレベル以上、または国公立の２次試験レベルの数学の話になります。
そのレベルの数学の問題を解いているとき
必ずぶち当たる壁としては
「基本の解法パターンは一通り覚えたつもりだけど、
過去問など実際の入試問題になると解けなくなる」
というところになります。
数学の入試問題は
問題文となる長文の中に答えとなるピースが詰まっていて
論理展開に気を付けてそのピースをつなげていく現代文・英語や
小問が細かく、そして多く出題され
東大レベルでさえでも公式一発で答えが出せるような小問が存在する理科系の科目とは違い、
それらの科目と比較すると
かなり短い問題文から
自分で何の公式を使うのか、どのように式変形していくのかを考えなくてはいけなくて
かなり自由度が高い科目であるといえます。
そのため、単に公式を覚えているだけでは
全く太刀打ちできない状況が連続しがちです。
例えば、非常に有名な問題として
円周率が3.05より大きいことを証明せよ。 （2003年の東大）
とか
tan 1° は有理数か。 （2006年の京大後期）
などがあります。
初めてこの問題をみる人にとっては
一体何から手を付ければいいのか、さっぱり分からないでしょう。
また、日本トップレベルの東大京大でなくても、例えば
円周率πに関して次の不等式が成立することを示せ。：3√6 - 3√2 < π < 24 - 12√3 （大分大学）（CanPass数学Ⅰ・A・Ⅱ・Bより引用）
など、地方国公立大学でも
このような短めの証明問題に出会うことはザラです。
もちろん、実際の入試会場で出会ったときについては
ほかの大問の難易度の兼ね合いも見て解くかどうかを決めることが必要になっていきますが
実力をつけるために勉強をする場合はそうはいきません。
ここからは、
一通り解法パターンを終えた人がこのようなレベルの問題に出会ったときに
具体的に何をしていけばいいのか
そして、詰まったときの対処法を解説していきます！
問題文の条件を書き出し→数式や図に直していく→式をいじって見覚えのある形にしていく
例として、先ほどの大分大学の問題で考えます。
ちなみに、「π＝３．１４…を使って直接比較する回答は０点とする」と
実はご丁寧に書いてありますので
その方針は使ってはいけないのは明白です。
（書いていなくてもダメですけどね。）
よくやってしまいがちなのは
「…この式、これ以上何をするの？」
と手が止まってしまう事です。
ダメですよ！笑
とりあえず手を動かしましょう。
そのためには、問題文の式（示すべき式なので、あくまで参考ですが）
を、いじってみます。
いじる、というのは式の場合は
四則演算でとりあえず様子を見ることです。
3√6 - 3√2 < π < 24 - 12√3
この式に対して、いろいろと変形をしてみて
式変形を実際に「紙に」書きだした
そこのあなたは、とても素晴らしい！
超計算が得意な人とかでなければ
基本、紙に書き出してくださいね！
意外と、文字にして見えるようにことで
式への反応が上がります。
私だったら、例えば。
真ん中のπはともかくとして
右辺と左辺で３がかけられているので
ひとまず３で割ろうという風に考えます。
これは確信などなくて、手がかりをつかむため、何となくです。
すると
√6 - √2 < π/3 < 8 - 4√3
となります。
勘のいいひとだと、左辺の√6 - √2について
「あれ？なんか見覚えあるな？」
となるでしょう。
そうでなくても
この問題でこれをした時点で
単なるπ（円周率）というよりかは
弧度法（三角関数で使われる角度の一種）の話かな？と
思えれば、実はそれで大正解です。
π/3＝60°ですからね。
※補足 √6 - √2は、演習を積んだ人であれば
sin15°＝sin（45°-30°）の加法定理で
sin15°＝（√6 - √2）/4 となり、明らかにその数字じゃない？となるわけです。
結論を言うと
この問題は、
三角形と扇形の面積比較をさせることで
問題文の不等式を示させることを要求していました。
（理系で数Ⅲをやっていると、三角関数の極限の証明で出てくる）
式や図形をいじっても何も浮かばなかったとき
それでもなお、起こる状況として
「分からないなあ、答えみてしまえ！」
↓
「Ａｈ！こういう解き方するのか～覚えちゃえ～」
となりがちです。
これもダメです！笑
先程のように、ある程度検討を重ねたうえで解説を読むのは問題はないんですが
答えを見たときに、それをもパターン化してしまうのは、やめてください。
それでは、この世の中に出回っている
すべての問題をまるまる覚えることでしか数学の点数は上がらないので
非常に効率が悪く、時間があまりにかかりすぎます。
大事なのは、解答を見たときに
「自分は何に気が付けばよかったのか」
「そのためには何が足りなかったのか」
この２点を振り返ることです。
先程の問題だったら
「３とか、１２で割る事を実験してみたのはよかったな」
「でもそこで、弧度法の面積で比較するというのが浮かばなかったな。」
という振り返りが重要です。
そこで足りない部分を補います。
「理系なのに、三角関数の極限の基本公式の証明できないな。もう一回やり直そう」
とかですね！
このような１問１問の積み重ねで、
解法をパターンとしてしか認識していなかったのが
知識とともに少しずつ線でつながっていきます。
そして、どのような問題を見ても
完全解答とまではいかなくても、自分で考えて答えにたどり着く力がついていきます！
かなり踏み込んで話しましたが、
数学の実力をもう一段階伸ばすには非常に重要なステップです！
参考にしていただければ嬉しいです！
まとめ
いかがでしたか？
今回は「数学の問題の解法の浮かばせ方」について
説明しました！
数学に限らず、すべての教科において
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