「京都大学の数学対策はどうしたらいいのか知りたい！」
「現時点で合格圏外、E判定でも京都大学に合格する方法を教えてほしい！」
この記事はそんな方へ向けて書いています。
こんにちは！武田塾大津石山校です。
今回は京都大合格を左右する数学を徹底解説していこうと思います！
武田塾では、日本で出版されている全ての参考書を分析し、
京都大学の過去問分析を積み重ねて、
たくさんの生徒と共に、
逆転合格を掴み取ってきました。
そんな武田塾だからこそ提供できる
京都大学の合格に向けた対策を紹介できればと思います。
大津石山校には京都大学に通う講師も複数名います。
現役の大学生である彼らの2020年入試の数学徹底分析！
是非ご一読ください。
あなたの京都大学合格への一助となれば幸いです。
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目標点数
【共通テスト数学】
京大理系志望者であればセンター数学は90~95%は確実に取りたいところです。
ただ、今年度から共通テストに切り替わり傾向が大きく変わるかもしれないことを考えると、
あくまでこの得点率は参考程度に考えておくと良いと思います。
【二次試験数学】
医学部医学科を除き、一般的には50~60%が京大理系数学の得点率の目安だと言われていますが、
数学は他教科より難易度の変動幅が大きい教科です。
それぞれの大問の難易度等は後述しますが、今年の問題のセットを見ると、
大問2~3問＋部分点のような点の取り方で合格している受験生が多かったと推測できます。
これもあくまで参考程度に考えた上で、自分の得意科目等を勘案して目標点数を定めましょう。
2020年度 第1問
複素数平面に関する問題です。
比較的オーソドックスな問題と言えます。
実数係数の方程式と共役複素数のテーマの問題はおそらくほとんどの人が触れたことがあると思います。
ただ、方針自体は見えやすいのでその過程でミスしてしまうと、
おそらくそれほど得点に反映されないと言えます。
途中で場合分けが発生しますが、網羅的に捉え冷静に処理することができれば完答も狙える大問です。
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2020年度 第2問
極限に関する問題です。小問2問構成です。
(1)は特殊な帰納法ですが、京大受験者なら一度は触れているはずなので完答を狙いたいです。
(2)は(1)で登場したα・βを用いた式の極限値を求める問題です。
αの絶対値が1より大きいという条件から一見発散しそうな与式ですが、
αと連動して動くβを考えれば一定の値に収束することがわかります。
行き詰ったときに、(1)で用いた情報・議論がどのように(2)に生かされるのかを考えることができれば、
素直に処理していくことで答えを得ることができるでしょう。
なぜ京大は(1)を設定したかに意識を飛ばすことが重要です。
これは標準的な難易度の大問ですので完答したいところです。
例年京大理系数学では6題あるうちの1,2問はこのような標準的な問題が出題されます。
こうした問題で確実に得点を積み重ねることが合格への最短ルートです。
2020年度 第3問
空間ベクトルに関する問題です。
与条件の多さに戸惑う受験生も多いのではないでしょうか。
こうした条件の多い問題ではいかに与えられた情報を漏れなく数式に落とし込み、
それらを正確に処理するかがポイントとなります。
その際に図形の対称性の観点から処理を簡略化できることに気づくことができればよいでしょう。
この問題では、一つ目の与式と半径1の球面上に点A・点Bが存在するという前提条件から、
座標設定を工夫することでそのあとの処理をイメージしやすくなります。
点A・点Bの座標を置くことができるかどうかが成否の分かれ目です。
特に意図もなく与式を操作するだけだと一向に正解にたどり着くことはないです。
一つ一つの式操作に目的意識を持つことが重要です。
とは言え、この問題は2020年の6問の中では難易度が高い部類に含まれるという見方が一般的で、
完答できる受験生は少ないと思われます。
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〇東大津高校3年 Iさん 3ヶ月で23点、偏差値13.7UP
数学ⅠA
2020年第1回武田塾模試（6月実施）→2020年ベネッセ駿台大学入学共通テスト（9月実施）
54/100点（偏差値50.7）→77/100点（偏差値64.4）
2020年度 第4問
整数問題です。
6問あるうち一番手を出しづらい問題ではないかと個人的に思います。
まずこのように文字の数が多く抽象的で構造を掴みにくい問題に出会ったときは、
実際に小さい数字を代入してあげることで問題の前提を理解することが非常に大切です。
この問題は与式は因数に3を何個持つのかどうかというポイントに集約されます。
与式が3の倍数か・3^2(=9)の倍数か・3^3(=27)の倍数かというように徐々に条件を厳しくしていく
ことで、3の因数の個数を炙り出すことができます。
その際mとnに1以上30以下の整数という制約があることを意識できれば、
A(m,n)の最大値を与える(m,n)までたどり着くことができるのではないでしょうか。
ただし、問題の構造の掴みにくさといい、3の倍数かどうかの判定を行った後、さらに9の倍数かどうかを判定する
という発想の難しさといい、いかにも京大らしい難易度の高い問題と言えます。
2020年度 第5問
場合の数に関する問題です。
この年度の受験生が問題用紙を開いたときのギョッとした表情がありありと思い浮かばれます。
これまでになかったタイプの問題です。これには非常に驚かされました。
やはりまずは具体的に数字をはめ込んでみて、そのときの挙動を調べて規則性や重要なポイント
を見抜くことが大切です。
この問題では行・列の入れ替えを許せば結果的に同じ配列だとみなすことができるということ
に気づくことができるかどうかが1つの重要なポイントです。
そうすることで一気に見通しが立つのではないでしょうか。
とはいうものの、そこに気づくことのできる人はかなり少ないのではないかと思います。
この問題も今年の理系数学のセットの中では難易度の高い部類に含まれるでしょう。
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〇大谷高校3年 Tさん 数学ⅠA偏差値16.2UP！ 数学ⅡB偏差値23.4UP！
2020年第1回武田塾模試（6月実施）→2020年第2回武田塾模試（9月実施）
数学ⅠA：37/100点、偏差値43.1→63/100点、偏差値59.3
数学ⅡB：9/100点、偏差値26.2→42/100点、偏差値49.6
2020年度 第6問
回転体に関する問題です。
二度軸の周りに回転させるというやや特殊なケースですが、設定に振り回されることなく
食らいつくことができれば比較的単純な問題です。
最初z軸の周りに曲線を回転させますが、それによって形成される図形をどう表現するかが難所です。
一度類題を経験していなければたどり着きにくい着想かもしれません。
ただそこさえクリアできればその後は積分計算をミスなくこなすだけです。
そして次にx軸の周りに回転させますが、x=tの切断面を考え、tの積分を行えればOKです。
これは回転体の体積を求める際の鉄則です。
それほど捻りがあるわけではないので、京大受験者であれば高得点を狙える問題ではないでしょうか。
現役合格者(兼現役講師)から京大受験生に向けてのアドバイス
☆高1・高2の時期に特に意識すべきこと
この時期は下記のテキストや学校での日々の授業の中で、
とにかく基礎を徹底し土台を整備することが非常に重要です。
京大理系数学に挑むにあたって苦手分野など言語道断です。
教科書の例題レベルの問題はいつ解いても間違いなく解くことができるようにしておきましょう。
具体的な参考書の名前を挙げると、
『数学I・A 基礎問題精講』『数学II・B 基礎問題精講』『新課程 数学III基礎問題精講』
を完璧にするとよいでしょう。
学校での予習や定期テスト勉強、塾や予備校での宿題は完璧にこなし、
基礎を抜け目ない状態にすることが京大理系数学攻略の必要条件です。
京大理系数学を解くには、圧倒的なセンスと類まれなる計算処理速度が必要だと思われる
方が多いと思いますが、決してそんなことはありません。
基礎を徹底し、土台を分厚くしてからひたすら過去問を解き対策を重ねることで、
十分対応本番でも合格最低点をクリアすることが可能です。
(※筆者は毎年京大と東大の二次試験の問題をいくつか解きますが、
京大の問題はそれなりに解くことができても、
正直東大の問題は歯が立ちません。(笑)
おそらく数学のセンスがあって得意な人なら、
どちらの大学の問題もある程度太刀打ちできるのだと思います。)
☆高3・浪人期に特に意識すべきこと
さて、実際に過去問を解くフェーズに入った後どう対策をすればよいのかについてお話します。
この時期からは各分野を極めると同時に、いかに分野横断的な対策も講じることができるか
どうかがポイントです。
これまでは明確に単元・分野が分かれていましたが、本番の問題にはそんなヒントは書かれていません。
特に京大理系数学は様々な分野からのアプローチが可能であることが多く、
どの方針で解き進めれば最短ルートをたどることができるのかが見えにくい問題が多いです。
例を挙げると、平面図形に関する問題の解き方として一般には
①ベクトル②座標平面③初等幾何的な処理④複素数平面
などこんなにもたくさんの解法があります。(もちろんケースバイケースですが)
実際見かけは複素数に関する問題なのに、
解き進めると常用対数の処理をさせられているような問題も出題されています。(京大理系2019年第6問)
このような問題に直面した時に苦手分野があると、解答の道筋が見えづらく
自分の解答に自信が持てなくなり、不用意なミスが増えてしまいます。
そういう意味でも苦手分野を完全になくすことは必須ですし、
その上で複数分野にまたがる問題に慣れることも必要です。
各論的な対策は『理系数学 入試の核心 標準編 改訂版』、
複数分野に横ぐしを挿す意識を養うためには『やさしい理系数学』・実際の京大理系数学の過去問
をこなすとよいでしょう。
過去問に取り組む際は、以下の2点を意識してください。
①時間を正確に計り本番を想定して解く ②大問ごとに解かない
過去問演習の一番の目的は、本番と同じ時間・同じ緊張感で本番に最も近い問題を解くということにあります。
時間を定めて本気で取り組んだ上で解けなかった問題は今の自分の明確な弱点です。
復習も普段扱う問題集より丁寧に行いましょう。
『京大の理系数学２５カ年』のような問題集では、大問ごとに問題が羅列されています。
もちろん大問ごとに解いても力は付きますが、できれば一年分まとめて解きましょう。
あくまで本番では複数の大問がセットで登場します。
難問が複数題出題されても、その分他の大問は比較的解きやすいかもしれません。
大問ごとに解いてしまうと、そうした情報抜きに挑むことになるので、
本番の状態と乖離してしまい、効果が薄れてしまいます。
大問ごとに時間をかけて丁寧に解くことももちろん重要です。
ですが、少なくとも２、３年分を本番直前にこなせるようにはしておきたいです。
もし『京大の理系数学２５カ年』などの問題集で過去問のほとんどを終えてしまった場合、
過去の京大模試の問題を解くと非常に良い練習になると思います。
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