二次方程式の解と係数の関係の応用例　マル秘【数学良問解説】パート⑤

武田塾瀬戸校　名古屋大学理系学部　二次試験問題「数学良問解説」⑤

瀬戸市の皆さん　お元気ですか？　

大学入試の問題解説などもおこなっております！！

この大人気シリーズも今年だけでもう第５弾です(^_-)-☆

かなりブログも読まれているので感謝感謝です！！

名古屋大学理系学部　二次方程式と整数問題の融合問題「数学良問解説」　　　－その５－

さて今回からは、東海、中部地区の国公立大学の数学入試問題を取り上げていこうと思います。

名古屋大学から取り上げましょう。

• 名古屋大学の数学入試問題

名古屋大学の数学入試問題は、従来から標準的な良問が多く、市販の良問を集めた問題集にもよく取り上げられてきました。

かなりの難問も時々出題されていますが、全体としては標準問題が主体で、難問が解けるようになることよりも、標準問題をしっかり解けるようにしていく方が効率良く合格できます。

急に難化した！？

2019年度の理系数学の問題は、名大受験生にとって、４問中、標準問題は１問のみで、２問は「やや難」、１問は「難」と言えるレベルで、合格者ですら出来が悪かった人が多かったそうです。

前年の2018年度の数学は、標準問題３問で、「やや難」が１問でしたから、急に難化したことになります。

名大入試結果は、センター試験得点と個別試験得点を足した総合得点しか公表されませんが、センター試験の得点は前年よりやや上昇したにもかかわらず、個別試験の数学などの難化によって、例えば工学部合格者の総合得点がかなり低下しました。

基本問題と標準問題が確実に解ければ十分合格できます！

名大入試でも数学は難問が解けるようになる必要は無く、基本問題と標準問題が確実に解ければ十分合格できます。

皆さん、先ずは基礎力を充分に固めていくような勉強をしていきましょう！

武田塾のルートに基づいて着実に学習を進めていくことが合格までの一番の早道です。

そして、名大らしい特徴のある問題も多く出題されるので、過去問を解いてそのような問題に慣れていくことも有効な勉強法になります。　

それでは、次の問題を解いてみましょう(´▽｀*)

この問題は、2011年に理系で出題された整数の問題です。

整数の問題は、名大ではしばしば出題されます。

「名大数学１」：

　　　a, bはa≧b>0を満たす整数とし、xとyの２次方程式

　　　　x²＋ax＋b＝0,  y²＋bx＋a＝0

　　　がそれぞれ整数解をもつとする。

• a＝bとするとき、条件を満たす整数aをすべて求めよ。
• a>bとするとき、条件を満たす整数の組(a,b)をすべて求めよ。

さあ、皆さんならどう解きますか？　すぐに解法が浮かびますか？

「解答例」：

• ２次方程式　x²＋ax＋b = 0 -----　①、  y² + bx + a = 0  -----　②

が、それぞれ整数解をもつとき、定数a, b が整数ならば、①、②の解は共に整数である。

a = b > 0 とするとき、①②は同じ方程式となり、異なる二つの実数解に整数m, n  ( m≦n )を用いると、

• は、(x －m )(x － n ) = 0 とおけ、x² － ( m + n ) x + mn = 0 となる。

解と係数の関係によりm + n = －a 、mn = a  となり、

mn+(m+n)=0

(m+1)(n+1)－１＝０

(ｍ+１)(ｎ+１）＝１　‐‐‐‐‐　③

ここで、a > 0 であるから

m+nは負の整数、mnは正の整数となる。またm, n は整数である。

よって、m≦n<0　である。

従って③式より、m+1＝－1,  n+1 = －1 より、m = n = －２ となり、

a =mn= 4 となる。

• a > b > 0 とするとき、(1)と同様に異なる二つの実数解に整数m₁, n₁ ( m₁≦n₁ )を用いると、①より、

( x － m₁ )( x － n₁ ) = 0　とおけ、x² －( m₁ + n₁ ) x + m₁ n₁ = 0 となる。

よって解と係数の関係よりm₁ + n₁ = －ａ -----　④,     m₁ n₁ = b   -----　⑤

④⑤とa > bより、a－ｂ＝－(ｍ₁＋ｎ₁）－m₁ｎ₁＞０

　　　　　　　　　　　＝－ｍ₁ｎ₁－(ｍ₁+ｎ₁）

                                 =(－m₁－１)(ｎ₁＋1)+１

　　　　　　　　　　　＝－(ｍ₁+１)(ｎ₁+１)+１＞０　

－（m₁+１)(n₁+１)＞－１

よって、( m₁＋1 )( n₁＋1 ) < 1   -----　⑥

ここで、a >b>0,m₁≦n₁＜0である。

従ってm₁+１≦n₁+１＜１

m₁+１,n₁+１は整数より

0≦(m₁＋1)(n₁+１)<1

∴０＝(m₁＋1)(n₁＋1)　n₁＝－１である。（∵m₁≦n₁<0)

またm₁+n₁＝m₁＋(－１）＝m₁－１=－a

     m₁n₁＝m₁(－１）＝－m₁＝b

a>0なのでm₁－１＜０により　m₁＜１

さらにa>b>0  m₁＝－a+1=－bなので

a－b=1---- ⑦

yの2次方程式　y^2+by+ａ＝０の整数解をm₂,n₂(m₂≦n₂)とする。

解と係数の関係より m₂+n₂=－b----⑧  ,    m₂n₂＝a----⑨

a>b>0,⑧,⑨よりa－ｂ＝ｍ₂n₂+(m₂+n₂)

　　　　　　　　　　　＝(m₂＋1)(n₂+1)－１＞０

(m₂+１)(n₂+１）>1----⑩

またm₂≦n₂<0である。m₂+n₂＜０,m₂n₂>0

⑧⑨⑩よりa－b=（m₂+1)(n₂+１）－1＝１

(m₂＋1)(n₂＋1)＝２

m₂≦n₂＜0であるよりm₂+1≦n₂+1＜１

m₂+１＝－２,n₂＋1=－１　

m₂＝－３,n₂＝－２

⑧⑨よりa=m₂n₂＝(－3)(－2)＝6

　　　－b=m₂＋n₂＝－５

　　　　b=5

よって求める整数の組(a,b)は、(a,b)=(6,5)である。　　　　　　

以上

どうですか⁇全然難しくはないですよね！

でも解答するのにある程度工夫をする必要はある問題です。

そこで、記述式答案作成の添削指導を武田塾瀬戸校で受けることをお勧めします。

次回も名古屋大学の問題を取り上げる予定です。

　「良問解説」⑤はいかがでしたか？

この記事を最後までお読みくださいまして誠にありがとうございました。

このご縁を大切にしていただけたら嬉しいです。

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