2020九州大学数学入試問題の難易度を評価・分析！合格点や対策を考察！

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2020年度入試　

九州大学の数学について、各問題の難易度・目標点を、
問題の着目点から考え方まで整理し、まとめます！
(※標準的な問題集を完璧にした程での評価です)

大問１　「定点からの接線＋定数の範囲」

＜難易度＞★★☆☆☆
＜目標点＞45/50

定点から接線を引くのは数2の基本問題。
ただ今回の問題は指数関数の微分という面で数3の問題に当たる。

定数aの範囲を求めようと進めるのではなく、
まずは言われたままに接線の式を出してみる。

接線の方程式を満たすための定数aの条件
→定数分離し、解を持つように設定
→分離する際に「0」で割らないことに注意。
→数3の基本知識を使ってグラフを書く

＜講評＞
受験数学を数多く触れている人ならなんども見たことがある問題。
この問題は完答すべき問題。
グラフを書く際に極限を取るなど、基本的な部分の記述に注意したい。

大問２　「高次方程式の複素数解＋整数の絞り込み」

＜難易度＞★★★☆☆
＜目標点＞30/50

⑴４次関数の解の一つが虚数解
→共役の複素数を解に持つ
→因数分解
→他の２解をαβとするとわかりやすい

c,dをa,bを用いて表すためf(x)に解を入れるという方針はすぐに出したい。

⑵まずは前半部分に書いてあるf(1)とf(-1)を実際に求める。
すると、f(-1)=3bと極めてシンプルな形になるので、ここから絞り込むと良い。

あとは不定方程式を解き、
絶対値で与えられる範囲に留意すればbの値が一つに絞り込める。
→f(1)に代入し同じ作業を繰り返す。
→a,bが求まったら⑴の途中で出てきたαβに代入するとスムーズに

＜講評＞
⑴は必須！
⑵は情報量に圧倒されずに、
できることから着実に進めれば完答も難しくはない。

大問３　「空間ベクトル(内積の計算)」

＜難易度＞★★★★☆
＜目標点＞10/50

この問題は間違いなく後回しにするべき！
その判断スピードが九州大学2020数学の分かれ目だろう。

[問題]
・３つの直線がそれぞれ直角
・直接関係のない辺の長さだけ与えられている(点Oとの関係性が見えない)
→与えられた情報から出せる限りの情報を掘り下げて行く
＝時間がかかる

⑴２直線(l,m)のベクトルを表す
→直交するから内積0
→式変形の結果から点Oに関する長さがわかる※難
→内積計算ができるようになる
→内積の定義式を用いて角度をだす

⑵ ⑴の計算途中で３つそれぞれの対辺の長さが等しいことに気付けるか？
→等面四面体(全ての面が合同)の性質を利用※普通習わない
圧倒的捨て問！

＜講評＞
数学はゴール(求めたいもの)から逆算し、
わかるものから計算していくパズルゲームです。
この問題は結果的に解ける問題ではあるが、
見通しは立てづらく、ミスが許されない入試では手をつけたくない問題。

ベクトルを得点源にする人も多いと思うが、
いつもと違う点(必要な情報がすぐ出ていない)に
気付いて捨てる気持ちで他の問題を取るべき。

大問４　「整数と集合の確率」

＜難易度＞★★☆☆☆
＜目標点＞40/50

⑴25の倍数となる
→５が”少なくとも”2回でる
→余事象を考える

⑵４の倍数となる
→2,6が2回以上出るor４が1回以上出る
→余事象(2,4,6が一回も出ない+2,6のどちらかが1回だけ出る)

⑶100の倍数となる
→⑴かつ⑵であれば良い
→数えだしでも良いが、集合論を持ち入れれば完答に近く

＜講評＞
⑴⑵は絶対に落としてはいけない！
⑶も考え方自体は難しくはない(標準問題)だが、
重複でミスをしないためのロジックが必要となる。

大問５　「空間座標の面積積分＋面積の回転」

＜難易度＞★☆☆☆☆
＜目標点＞50/50

なんの捻りもない定石問題。
素直に解き進めて行きたいが、
練習が足りてない受験生は以下の手順を徹底するように！

[問題]
問題文を最後まで読み、全体像を予め想像しておく(完全にじゃなくて良い)
→全体図をxyz空間座標で書く(あくまで整理するだけ)
→x,y,zのうちどれで区切るべきか？
→関数であれば共通した文字で区切ると良い
→平面に書きおろす
→いきなり「x=tのとき」が難しければ、
一番わかりやすい値で考える「x=0のとき」など。

⑴「x=tのとき」と指定された
→まずはわかりやすいように「x=0のとき」のyz平面をかく
→今回の問題であれば(0,2,2)から(0,0,0)の直線で区切られる
→x=tのときも区切られる線は変わらず、円柱Eの断面積が変わる。
→あとは面積をtの関数
→tの範囲に注意して積分

⑵面積の回転
→回転の中心から一番遠い点と近い点を明確に
→ドーナッツ型の円の面積を求める
→tの簡易に注意して積分

＜講評＞
この問題は必解問題です！
なぜなら、順番を正確に守って計算を進めれば
『想像力なんて必要なく、確実に解けるから』です。
唯一思考力が必要とされる問題として例を挙げると
「３つの平面に関しての条件式が出てくる時」
東大で過去に出たことがあるレベルです。

空間が苦手な人は多いです。
そもそも想像つかないから計算しやすいように
平面に落とし込むやり方があるのです。

”物理と同じように”
ルールを守って解く練習をしましょう。
受験数学では絶対に完答したい問題です！