【2020年阪大入試】大阪大学理系数学を分析｜各問題の着目点

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2020年度入試　

大阪大学の理系数学について、各問題の難易度・目標点を、
問題の着目点から考え方まで整理し、まとめます！
(※標準的な問題集を完璧にした程での評価です)

大問１　「関数の概形」

＜難易度＞★☆☆☆☆
＜目標点＞20/20

＜着目点＞
①同じ形が存在する(x+1)
②指数関数の微分

＜考え方＞
⑴
→「最大値を求めよ」から微分して増減表を書く
→②から対数微分法
⑵
→⑴で対数微分法した式が補足にそのままある
→極限を取り、対数を外す
⑶
→⑴⑵を元に図示

＜講評＞
THE定石問題。演習を積んできている人ならばほぼ間違いなく見た事のある問題。
①の着目点についてはどんな問題であれ気付かなくてはならない。(いかにシンプルにするかが、ケアレスミスの防止や解法発想に繋がる)
大問１は完答必須で、ケアレスミスに注意。

2021年度受験生へ

この問題レベルを完答できないと、他大学の数学でも合格点を取るのは難しいです。
また、誘導問題になっているので一通り学習が終わったら早速解いてみるのもいいでしょう。
手が止まる部分として考えられるのは⑵の問題だが、これは普段の勉強で公式(定理)だけ覚えて、
定義を気にしていない人が引っかかりやすいポイントです。
実際に解いてみて、手が止まるような事があれば勉強法を見直す必要がありそうです。

大問２　「複素数平面＋確率」

＜難易度＞★★★☆☆
＜目標点＞10/20

＜着目点＞
①複素数は単位円上
②Z(n)はY(1)からY(n)までの掛け算

＜考え方＞
※複素数平面上での確率問題
→まずは問題設定の整理から始める(確率の基本)
→①②から、回数を重ねるごとにπ/3単位で回転(無回転)
→回転の向きについて確率を整理
⑴
→実数でない
→虚数iの係数が0
→(最悪の場合、樹形図)
⑵
→※で整理したものを可視化
⑶
→実数でない確率から漸化式

＜講評＞
複素数平面と確率(+漸化式)の問題で、受験生が苦手としがちな単元のオンパレード。
苦手意識を持っていると手を付けづらいかもだが、一つ一つの操作は難しくはない。
このような、基礎的な操作の組み合わせ問題は頻出であるが、差をつけられる問題でもある。

2021年度受験生へ

苦手単元を残している状態での、この手の問題は厳しいです。
苦手単元の基礎的内容を仕上げる事。それから、応用問題(基礎の組み合わせ)の演習＆分析をしましょう。
阪大2020年理系数学の第２問は、2021年度受験生に解いて貰いたい１問です。
この問題は周りとの差が生まれて来る貴重な１問です。

大問３　「図形＋証明」

＜難易度＞★★☆☆☆
＜目標点＞15/20

＜着目点＞
①与えられている情報が2つの辺とそれぞれに対する角

＜考え方＞
→①から真っ先に「正弦定理」
→「c<nb」の形に向かって式変形
→「＝」から「＜」に変換する部分を証明

＜講評＞
図形問題が苦手な人にとっては一見嫌な問題だが、与えられた情報を素直に書き出し、
「正弦定理」を使えれば何も問題はない。
証明問題にはいくつか種類があるが、上記の通り立式すれば単純な不等式証明であることがわかる。
気負わずに手を動かし、徐々に紐どく気持ちがあれば得点源になるだろう。

2021年度受験生へ

パッと見嫌な問題というものはたくさんあります。
普段の演習から嫌な問題に向かっているかどうかが、入試本番にも出てきます。
泥臭く一問に向き合っていくことを意識しましょう。
この問題はそんなメッセージが隠されていると感じました。

大問４　「領域の面積＋極限」

＜難易度＞★★☆☆☆
＜目標点＞13/20

＜着目点＞
①不等式による領域の面積
②極限をとる変数(t)に応じて面積が変わる

＜考え方＞
→①からまずは図示
→面積を求めるにあたって積分範囲が必要
→②に気付き、積分範囲に文字を置く
→置いた文字は２次方程式の解
→解と係数の関係

＜講評＞
問題自体はいたってシンプル。
面積を求めるにあたっての積分範囲を文字で置けるかがポイント。
また、文字を置く際に解と係数の関係が成り立つ事を意識して入れば、計算ミスだけ気をつけたい問題。

2021年度受験生へ

第３問に引き続き、文字を置くとめんどくさい計算が想像つく。
早く簡単に解ける方法を探すことは数学においてとても重要ではあるが、
求めたいものから逆算した結果その方法しかない場合には思い切りを持って手を動かせるようにしましょう。

大問５　「図形の回転＋最大値」

＜難易度＞★★★☆☆
＜目標点＞12/20

＜着目点＞
①３辺の長さの和が一定
②一辺を軸として回転
③⑴の軸の長さを固定

＜考え方＞
⑴
→①③より、２辺の長さの和が一定
→楕円の定義
→②から場合分けが必要
→最大値を取る時の条件を証明
⑵
→⑴を元に、変数の定義域に注意して最大値を考える

＜講評＞
着目点をしっかりと抑えられていないと、⑴の楕円の発想ができない。
楕円であることさえ分かれば基礎的な問題に言い換えられる。
⑴が解けたならば、⑵は取りきりたい。

2021年度受験生へ

この問題のポイントは２辺の長さの和が一定であることから、楕円を描くということに素早く気付けるか。
『楕円→2つの焦点からの距離の和が一定』と言うことは絶対覚えなければならないが、
この問題のように、『2つの点からの距離の和が等しい→楕円』といった部分まで覚えて置く必要がある。
問題演習を積む上で、その問題を理解するだけでなく、『公式等を自由に使える』事が求められる。