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【2020年京大入試】京都大学理系数学を分析|各問題の着目点

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2020年京大入試の数学分析

京都大学の理系数学について、各問題の難易度・目標点を、
問題の着目点から考え方まで整理し、まとめます!
(※標準的な問題集を完璧にした程での評価です)

大問1 「複素数平面+3次関数」

<難易度>★★☆☆☆
<目標点>30/30

<ヒント>
①3次方程式が相違なる解を持つ
②複素数平面上
③正三角形の長さ

<考え方>
→①と②から3次方程式の解が「1つの実数と共役の複素数」になることがわかる。
→③より、共役の複素数の虚部が確定
→同様に③から虚数解と実数解の実部の差がわかる
『3つの解の関係性がわかっている』
→解と係数の関係
→式計算

<講評>
与えられた問題文の情報を素直に整理する標準的問題。
他の問題を考えると、多少時間かかっても完答すべき問題。

2021年度受験生へ

国公立理系の数学では、この問題のように単元をまたいだ複合問題がよく出ます。
複合問題で有名なのは「確率漸化式」ですが、全てのパターンを抑えるのは時間がかかります。
複合問題は各単元の”基礎的な知識”を組み合わせた問題の為、難しくはありません。

一通り学習を終えているならば解いてみて欲しい1題です。

 

大問2 「一般式証明と誘導」

<難易度>★★☆☆☆
<目標点>25/30

<ヒント>
①2次方程式の解α,β
②一般式の証明
③⑴⑵の関係性

<考え方>

→①から真っ先に解と係数の関係を考える
→偶数証明だが、上記と②から数学的帰納法
→証明したいnの式を変形するとn-2の項が出てくる
→仮定を2つに増やす


→sinの極限
→sinの中身と同じ形を分母に作りたい(sinの極限公式)
→わざわざ⑴で偶数証明をしている
→βへの変形と、まだ使っていない情報(|α|>1)を利用

<講評>
⑴は問題文から典型的な解と係数の関係、数学的帰納法の問題と気づかなければならない。
⑵はいきなりの極限だが、それが誘導のヒントでもある。
大問2も、これ以降の問題を考えると満点近く取りたい問題である。

2021年度受験生へ

大問1に続いて、一通り学習を終えたらやっておきたい問題である。
⑴の数学的帰納法のパターンは絶対抑えよう。
⑵のような「都合のいい変形」はとても重要で、式の中身から定石問題や公式に結びつける力は過去問演習で身につけよう!

 

大問3 「内積の式変形+手詰まり後の対処」

<難易度>★★★★☆
<目標点>5/35

<ヒント>
①位置ベクトル
②半径1の球面上
③内積の式のみ

<考え方>
→③から、内積の式をいじる
→内積の定義式と②から与式はcosの値と同じ
(多くの人はここで手詰まる)
→角度がわかったものをどのように使おう?
→都合のいい座標に置き換える
→2つのベクトルを固定できるが、残り2つがわからない
→残り2つのベクトルの座標を文字で置いてみる
→②③に、上記で置いた文字を代入
→式計算

<講評>
ベクトルの定石問題に囚われ過ぎると沼にはまってしまう。
第一ステップとして、「内積の式が何を表しているのか?」を見つけるところまでは行きたい。(部分点狙い)
文字を置いた先を考えるとかなり計算がめんどくさいのも明確だが、
これは普段から1問に対して泥臭く向き合ってきているかどうかで大きく分かれるだろう。

2021年度受験生へ

大学受験では満点を取る必要がありません。
合格点を取るための戦略立てが重要になってきます。
試験当日に問題内容を見て対応しなくてはいけません。
数学をテクニックだけでどうにかしようという勉強をしていては、
今年の京大数学のような問題が出てきたときに手が出ずに時間が余ってしまう事もあるでしょう。

「知識を身につけるための勉強」
「思考力を養うための勉強」
など、それぞれの力に必要な勉強法があります。
目的を持った勉強をしましょう!

 

大問4 「問題の解釈+整数の実験」

<難易度>★★★★★
<目標点>0/35

<ヒント>
①問題文をまとめると3で最大何回割れるか?
②nは3で割り切れない

<考え方>
→①は問題文をよく読んだ上で言い換える
→2変数だが、②より場合分けをする
→3で割った余りで分類
→mも3で割った余りで分類して捜索

<講評>
問題文の意図は掴みたい問題。
しかし、その後の方針が立ちにくい。
地道に計算して行きたいが、ここで時間をロスするのは危険でしょう。
他の問題の見直しも済んだ段階で地道に実験したい。

2021年度受験生へ

京大といえば「整数問題」で、特に「素数問題」が有名でした。
しかし今年の問題では素数問題は出ませんでした。
来年度はどうなるかは不透明ですが、整数全般的に研究して置く必要がありそうです。
問題分析の力を付けて、「捨て・部分点・完答」を的確に判断できるようにしましょう。

 

大問5 「場合の数」

<難易度>★★★☆☆
<目標点>25/35

<ヒント>
①行と列それぞれ1回

<考え方>
→行か列、どちらか1つ固定してみる
→固定したものに対して重複しないように1つの数字の入れ方を模索
→残った数値の入れ方を数えだす

<講評>
問題設定自体はいたってシンプルだが、数え漏れ等がないか不安な問題。
まずは数え上げるために固定するという基本操作からはじめ、
不安ながらも最後まで書き切ることを目標にしたい。
気合いで数えだす受験生もいるが、その際は時間に気をつけたい。

2021年度受験生へ

場合の数の基本パターンを抑えた後は様々な大学の過去問を解いて見ましょう。
場合の数・確率はより多くの経験を積むことが大切です。

 

大問6 「回転体の図形+回転体の体積」

<難易度>★★☆☆☆
<目標点>30/35

<ヒント>
①回転体の図形S
②図形Sをさらに回転

<考え方>
→回転体の図形Sを考える(図示)
→図形Sを回転するにあたって、一番近い距離と遠い距離について考える
→2つの距離の間に図形Sが通過することを確認
→定石問題通り、回転体の体積(外側から内側を引く)を求める

<講評>
この系統の問題はパッと見で苦手意識のある受験生は多いでしょう。
しかし、一つ一つの作業を正確にこなしていければ定石問題であることがわかります。
図形のイメージができる人は数分で完答に至る問題であることから、
図形のイメージが苦手な人は一つ一つの作業を丁寧に行い、点数差を付けられないようにしたいです。

2021年度受験生へ

この問題はTHE数3の定石問題です。
日頃から図示(正確じゃなくてもいいから情報をまとめる)の練習を心がけましょう。
また、数3を使うのは最後の式計算がメインで、立式は数1A2Bの力であることが多いです。
問題の単元名だけで判断せず、どこでつまずいているのか?
そこを分析した上で目的ある勉強をしましょう。

 

総評

毎年「易化した!」「難化した!」と騒がれますが、
自分がやってきた勉強に対して、冷静に分析しましょう。
共通テストに向けてなのか?例年と傾向が変わったのは事実ですが、
傾向が変わっても対応できるように受験勉強に励みましょう。

受験勉強は「合格確率を上げる」作業です。
自分の強み・弱みを分析した上で、本当に必要な事に時間を費やしましょう。

数学は特に分析が難しい教科です。
(分析できている人は必然と高得点取れます)
少しでも数学に不安がある方は、
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