豊田市周辺にお住まいの皆様、および武田塾生の皆様こんにちは！
逆転合格専門の予備校・個別指導塾の武田塾豊田校です！
この時期はどうしても共通テスト対策に追われているみなさんが多いと思います。ただ、そうすると二次試験対策がおろそかになってしまう面もあると思います。というわけで今回は共通テストなまりを解消するのの役立ちそうな問題を解いていこうかと思います。難しくみえるかもしれませんが一通りインプットを終えた高校生の知識で十分解ける問題ですのでぜひチャレンジしてみてください。高級な知識は一切必要ありませんよ。今回は少し説明調に解答を書いてみようと思いますのでお楽しみいただければ幸いです。
問題
kを正の無理数、mを正の整数とする.正の整数のペア(a,b)を次の条件を満たすときgoodとよぶことにする。(ただしx以上の最小の整数をC(x)と定義し、ｘ以下の最大の整数をD(x)と定義する。)aC(bk)-bD(ak)=m.また、goodなペアでペア（a,b-a）も(a-b,b)もgoodなペアでないときexcellentと呼ぶことにする。このときexcellentなペアの数はmの正の約数の和に等しいことを証明せよ。(https://www.imo-official.org/problems/IMO2013SL.pdf)
解答例
まずは(a+b,b)と(a,b)の関係性を探るためにf(a,b)=aC(kb)-bD(ak)として定義して、f(a+b,b)-f(a,b)を計算してみる。すると、{ak}+{bk}<1（小数部分を表す記号)のときにはC((a+b)k)=C(ak)+C(bk)-1となること、D((a+b)k)=D(ak)+D(bk)となることによりf(a+b,b)=f(a,b)+bとなることと、f(a,a+b)=f(a,b)となることがわかります。同様の議論をすることで、{ak}+{bk}≧1のときはf(a+b,b)=f(a,b)であり、かつf(a,a+b)=f(a,b)+aとなることも分かります。この時点でユークリッドの互除法のネタに似ているな、ということと、漸化式が使えそうかしら、と思えればかなり解答に近づきます。またわかることとして、a≠bのときはf(a,b)にはこれをつくってくれる両親ペアがいることになります。さかのぼれるだけさかのぼってみるといずれはf(d,d)という形にたどり着くことになります。また、f(a,b)の両親ペアはただ1つのペアのみあるだけであることも分かる。そして、次の補題を思いつければほとんど解けたようなものです。その補題とは、「f(a,b)<mとなるペアを持って来た時、f(a,b)のexcellentな子孫の数はm-f(a,b)を非負整数x,yを用いてax+byとあらわせる表し方の総数に一致する。」。ひとまず補題の証明はおいて置いて問題の解答をしてみましょう。f(d,d)=d(ただしd<m)であり、補題よりexcellentなペアはf(d,d)の形からm/d個でてくる。つまり、excellentなペアはd=mであるときを合わせて総和は(約数の逆数和)m=(mの約数の和)となり証明完了です。後は、補題の証明をしておきましょう。これには帰納法が使えそうですね。なぜなら先ほど申し上げたように漸化式が立ちそうだからです。ヒントとしてはｍとなるところから何世代離れているかに注目して帰納法をやってみると上手くいきますよ。ここからは読者の皆さんの宿題にしておこうかと思います。全部言ってしまっては面白くないですからね。
感想
いかがだったでしょうか。以外と出来そうなところまで行った人が多いのではないかと思います。ただ、今回はブログ用の回答であるため荒削りなところも多いです。読んでみたけどよくわからん、とか、もっと説明して欲しい、とか、こーゆうタイプの問題は苦手だから対策を教えてほしい、とか、何かあったら是非とも武田塾豊田校にいらしてください。講師がマンツーマンでわかるまできっちりお教え申し上げます。このブログを読んだ皆さんのなかから筆者の解答よりもエレガントなものを思いついた方がいたらぜひおしえてください。
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