武田塾瀬戸校の講師が教える!マル秘【数学良問解説】パート④

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武田塾瀬戸校の講師が教える!マル秘【数学良問解説】パート④

こんにちは!

 

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武田塾瀬戸校です!

 

それでは早速ですが、数学を解く上で、解きながら勉強になっちゃうような

「良問」を、解説していきたいと思います!

 

 今回解いていく問題は・・・?

 前回は、2002年に京大理系で出題された図形問題でしたが、

この年に出題された6題の中では 難しい方の問題で、受験生の出来はあまり良くなかったそうです。

京大の入試でも基本問題から難問まで様々な難易度の問題が出題されますが、一昔前のような難 問はあまり見られなくなってきました。

聞くところによると、ちょっと難問を出すと、受験生のほとんどは解答できないため、受験生の出来 が悪かった年の翌年は、

全体的に基本的な問題が多くなる傾向があるということです。

京大志望ならば、発展問題であっても点数が取れることも大切ですが、基本的な問題を取り損ねてしまうことのないようにもしたいですね。

 

今回紹介する問題は、前回紹介した2002年の翌年の2003年に出題された良問で、6問の中で 最も合否に影響があると考えられる発展問題です。

早速問題を見てみましょう。  

 

ここで問題です!!

nチームがリーグ戦を行う。

 すなわち、各チームは他のすべてのチームとそれぞれ 1回ずつ対戦する。

引き分けはないものとし、勝つ確率はすべて 1/2 で、各回の勝敗 は独立に決まるものとする。

このとき、( n-2 )勝1敗のチームがちょうど2チームである確率を求めよ。

ただし、nは3以上とする。

1LzVP80gqTwbwnpeXWu4tusbXtTF63Kt6TjXz66h

気になる解法は・・・?

すぐに解法が浮かびますか?  

 題意のような状況を解析することが必要で、 この能力が問われていることになります。

「解答例」 チームを T₁ ~ Tn で表す。

( n-2 )勝1敗になる2チームの組合せは、nC₂ 通りある。‐‐‐‐‐ ①

先ず、その2チームがT₁ 、T₂ のときを考える。 T₁ 、T₂ の直接対決でT₁ が勝つ場合、‐‐‐‐‐ ② このときT₁は他のどこかのチームに負ける。

どこに負けるかでn-2通りある。‐‐‐‐‐ ③

T₁ がT₃に負けるときを考える。T₂はT₁ に負けるからこれ以上負けられない。

 

よってT₂はT₃に勝つ。するとT₁ ,T₂ ,T₃相互の対戦では1勝1敗になる。

T₁ がT₂に勝ち、T₂がT₃に勝ち、T₃がT₁ に勝つ確率は、( 1 / 2 )³である T₁ 、T₂が共に残りのn-3試合で勝つ確率は、{( 1 / 2 )ⁿ⁻³}² であり、このときT₃が 残りのn-3試合で少なくとも1回負けるときであり、この確率は、1-( 1 / 2 )ⁿ⁻³である。

 

このとき他のチームはT₁ ,T₂に負けるため2敗以上する。 

②においてT₂がT₁ に勝つ場合と、③の他のチームの場合も考えると、求める確率は、 nC₂・( n-2 ) ( 1 / 2 )³{( 1 / 2 )ⁿ⁻³}²{1-( 1 / 2 )ⁿ⁻³}・2 =n (n-1 ) ( n-2 ){(1 / 2 )²ⁿ⁻³-(1 / 2 )³ⁿ⁻⁶}

パスをするサッカー選手のイラスト(男性)

いかがでしたか? 

確率の問題としては難問ではありませんが、

それでも落ち着いて解析していく力が必要です。

詳しくは武田塾瀬戸校に来てくれたら、じっくりと解説いたしますね(^^)

 

この記事を最後までお読みくださいまして誠にありがとうございました。

このご縁を大切にしていただけたら嬉しいです。

 

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