こんにちは！武田塾西葛西校講師の横山です！
暖かい季節となってきて勉強しやすい環境となってきました！
新高校３年生の方は受験生という自覚をもって勉強に励んでください！
今回は数学Iの数と式で受験生がミスしがちな問題をピックアップして解説していこうと思います！
①文字係数の1次方程式
問題
(a-2)x+4ay=-1 …①
x-(3a+1)y=a …②
aを実数の定数として、x,yについての連立方程式を解きなさい。
解答
皆さんは解けましたでしょうか？
解けたと思った人も解答を見てみると少し異なっているかもしれません。
まずは、連立１次方程式なので、加減法または代入法を用いてxまたはyについて解きましょう。
今回は代入法を用いて、
②をx=(3a+1)y+a
と変形し、①に代入します。
今回計算分野については言及しないので計算過程を省略すると、
(a-1)(3a+2)y=-(a-1)＾2
となります。
ここからが、受験生が間違えやすい箇所なのですが、
数学は０で割ることは許されていません。
つまり、０になる可能性がある文字で割る場合は注意しなければいけません。
（明らかに０よりも大きい場合など（a＾2+3）などは考える必要はありません。）
今回で言えば、a=１の場合とa=-2/3の場合は解なしと言いたいところなのですが、
もう一つy以外の部分で両辺が0になる場合も考える必要があります。
（０×y＝０といった形です）
この場合はyは解が無数にある状態になります。
結論としては、
a=1の場合、解は無数
a=-2/3の場合、解なし
上記のa以外の実数の場合、x=(4a+1)/(3a+2), y=-(a-1)/(3a+2)
となります。
この場合分けというのは基礎問題精講にもあるのでできなかった人は復習しましょう。
このように融合問題で出されたりするとすぐ忘れる受験生は多いので
文字で割る時や最初から分母に文字がある場合などは計算せずに
まず場合分けがあるかどうか確認をしましょう。
②文字係数の1次不等式
問題
不等式
ax+a>a^2+x …③
を解け。正し、aは定数とする。
解答
今回の問題は先ほどの問題と似ているのでセットで覚えておきましょう。
まず、xについて整理してもらうためにxを左に残りの定数部分を右に移項します。
すると、
(a-1)x>a^2-a
つまり、
(a-1)x>a(a-1) となります。
ここから注意してほしいのですが、先ほどと同様にxについて求める際、
(a-1)という文字で割る必要があります。
これがもし、0であった場合、0・x>0となってしまってxは解なしとなってしまいます。
ここまでは先ほどと同じなのですが、
不等式というのは割るものの符号が正負で不等式の向きが変わるという性質があります。
つまり、場合分けは0の他に、正負でも考える必要があります。
したがって、解答としては、
ⅰ) a-1>0 の場合、③の両辺をa-1で割り、 x>a となる。
ⅱ) a-1=0 の場合、0・x>0となり、解なし
ⅲ) a-1<0の場合、③の両辺をa-1で割り、不等号の向きを逆にすると、 x<a となる。
したがって最終回答は
a>1 のとき、x>a
a=1 のとき、解なし
a<1 のとき、x<a
となる。
どんな時でも、文字で割る時というのは必ず場合分けがないか確かめてから解き始めましょう。
③ルートが入る不等式
問題
√(5-x)<x+1 を解け。
解答
とりあえず、2乗しようとした皆さん、間違いです。
まず、ルートが出てきたらどんな問題でも必ずルートの中身が正かどうかの確認はしておきましょう。
今回の問題はルートの中身が正にならない可能性もあるので、
まず、5-x≧0と書きましょう。
そして、ルート付きの不等号というのは注意してほしいのがルートの値は0以上なので、
必然的に右辺が0以上という範囲を設けなければいけません。
つまり、x+1>0も加えなければなりません。
したがって、xの制約は-1<x≦5となります。
あとはそのまま解くだけなので特にいう事はないと思いますが、
2乗して整理すると、(x+4)(x-1)>0となり、先ほどの範囲と合わせると、
1<x≦5が答えとなります。
解く前に先ほどの2手順を踏まないと答えが間違ってしまう可能性があるので、
ルートが含まれている不等式は範囲絞れないかを確認してから解きましょう。
④次数下げ
問題
x=2-√3 のとき、
x^3-x^2-6x-1…④
を解け。
解答
この問題はミスをしやすいというか一種のテクニックを覚えてほしくて抜粋しました。
代入するだけでしょと思った人、計算しなくてもなんとなく面倒くさそうだなと思いませんでしたか？
その通りです。そのままやると計算が複雑なため、工夫した計算をしましょう。
そこで今回使うのが次数下げです。
次数下げとは何かというと、まず次数というのは文字の右上にある数字のことを言います。
3乗なら3、2乗なら2といったようなものです。これを下げるので
3乗を1乗にするなどを次数下げといいます。
これのメリットは3乗など複雑な計算をせずとも1乗などにしてしまえば、
代入だけで答えが求まるという点にあります。
では、どのようにやるかというと、前提条件から次数が高いものと低いもの両方を持つ式を作ればいいのです。
x=2-√3から、2を左辺に移項して、2乗すると、x^2-4x+4=3という次数が異なるものが出てきました。
これを整理すると、x^2=4x-1となります。
これによって、2乗を1乗と定数に直すことができます。
したがって、次数が下がったことが分かりますね。
（余談なのですが、√３を移項して2乗すると、xの1乗の係数がルートが入って計算がしにくくなるため、2を移項した方が良いです。）
つまり、x^3=x・x^2＝x(4x-1)=4x^2-x
4x^2-x=4(4x-1)-x=15x-4
となります。
したがって、④＝(15x-4)-(4x-1)-6x-1=5x-4
と1次式にすることができました。あとは代入するだけなので、
5(2-√3)-4＝6-5√3
となります。
次数が多い計算などはどうにかして次数を下げることができないか考えて計算してみましょう。
⑤因数分解
問題
2ax^3+(a^2-2ab-2)x^2-(a^2b+a-2b)x+ab
を因数分解せよ。
解答
因数分解する際に、闇雲にやろうとする人がいると思いますが、
それでは、計算が大変な上に、時間がかかってしまうことがあります。
ここで、定石でもある最低次の文字について整理することを意識できるかがカギです。
最低次とは、次数が一番小さいことを言い、今回の問題で言うとbにあたります。
つまり、bについて整理すると、
{-2ax^2-(a^2-2)x-a}b+2ax^3+(a^2-2)x^2-ax
と、bの一次式に整理することができます。
-{2ax^2+(a^2-2)x-a}(b-x)
=-(ax-1)(2x+a)(b-x)
という答えになります。
必ず、因数分解するときは次数に注目してから解き始めましょう。
⑥最後に
今回は、数1,Aの数と式について受験生が間違えやすい問題についてピックアップしました。
受験というのは、応用問題を解けるようにしなくとも、標準問題を完璧に解ければ十分合格点に
足りるようになっています。今回紹介した問題をきっちりできるようになれば、合格へ近づく
と思うので、できていなかった人はもう一度勉強のやり方を見直して励んでください。
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