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今回は、2020年度センター数学について解説したいと思います。
【2020年度】センター試験の数学IAIIBは難化？易化？
【2020年度】センター試験の数学IAは難化？易化？
結論やや難化だと思います。
それでは大問ごとに見ていきましょう。
大問１（難易度★☆☆☆☆）
すべて例年通りの基本的な問題です。
第一問
［1］
⑴ a^2-2a-8≦0を解くだけ
⑵ x軸との交点は関数にy=0を代入すればよいので b=-a/(a^2-2a-8) となる。
a>0のとき分子は負であるから、分母も負になればよい。
a≦0のとき分子は正であるから、分母も正になればよい。
最後は b=-a/(a^2-2a-8) a=√3 を代入するだけ。
［2］
⑴ 32は4の倍数でしかなく、6の倍数でない数はすべて24の倍数でもないので②が正解。
⑵ 4と6の最小公倍数は12
⑶ 12は4の倍数であり6の倍数でもあるが24の倍数ではない唯一の数であるので③が正解。
［3］
⑴ ⑵でどれだけ平行移動したか問う問題があるのでy=x^2をx方向にa、y方向にb動かしたとして G:y-b=(x-a)^2 と置きましょう。これに(c,0),(c+4,0)を代入するとa=c+2,b=-4となります。これを代入してy-b=(x-a)^2を展開すると答えになります。
1次関数と2次関数の交点の有無は連立して判別式から求めます。
⑵ b=-4よりy方向に-4は確定。Gに(3,-1)を代入してcを求め、a=c+2からaを求める。
y軸との交点の座標はx=0を代入するだけ。
大問２（難易度★★☆☆☆）
若干初見の問題がありますが、難しくはないです。
［1］
余弦定理よりBDは求まる。
sin(ADC)=sin(180°-BDC)=sin(BDC)より、△BDCの正弦定理よりsin(ADC)を求める。
二等分線の性質よりAC:AD=BC:BDであるから、AC/AD=BC/BDより求まる。
△ADCの正弦定理よりADを求める。
△ABCの正弦定理より外接円の半径を求める。
［2］
⑴ データの個数が99個と奇数なのがこの問題の肝。
⑤はデータの個数に関係なく成り立つ。
その他はそれぞれ検討する必要がありややめんどくさいが、③が正解だとわかる。
⑵ 箱ひげ図が大量で困惑したかもしれないが、問題自体は個数そのものに意味はなくはったりなのでビビらないほうが良い。
(Ⅰ)は四分位範囲が1以上の箱ひげ図を1つ見つければいい。
(Ⅱ)は一目瞭然。
(Ⅲ)はP1とP47が離れていて見にくいが最大値と最小値を比較すればよい
⑶ 例年通りの出題
⑷ 補助線に感謝しながらその意味を考える。
切片まで与えてくれているので、一番右の補助線からその隣の補助線の間に含まれるデータはヒストグラムの5.5~6.0にあたるのでその数を数える。
大問３（難易度★★★☆☆）
新傾向の問題があります。
最後の問題はやや難しいですが例年通りの条件付確率です。
［1］
新傾向の問題。実質上からすべて解く必要があるので比較的重い。
⓪ 余事象で考える
➀ 赤玉と白玉が計8個入っていることからこの袋から赤玉を取り出す確率は赤玉の数をｎとするとn/8となるはずである。
nがいかなる時でも3/5にはならないので×
➁ 5枚から2枚取り出す組み合わせは5C2
そのうち2枚が同じカードであるのは「ろ」「ろ」のときと「は」「は」のときの2通り
よって確立は (5C2-2)/5C2
③ 上3つに比べ難易度が高いので消去法で正しいか正しくないかを断定するのが賢明。
［2］
表と裏が出る確率はそれぞれ1/2として計算する。
⑴
2回投げて持ち点が-2になるには裏が2連続出ればいいので1/2×1/2=1/4
2回投げて持ち点が1になるには裏と表が1回ずつ出ればいいので1/2×1/2×2=1/2
⑵
表裏裏の組み合わせで持ち点が０となるので３回
この確率は3×(1/2)^3=3/8
⑶
持ち点が４になるには表３回裏２回となればいい。
この確率は5C2×(1/2)^5=5/16
ただし、３回で持ち点が０になる場合は除くので（表裏裏）→（表表）となる確率3×(1/2)^3×(1/2)^2=3/32を引く必要がある。
よって5/16-3/32=7/32
⑷
（表裏）→表→（表裏）の順に出ればいいので、(2×1/2×1/2)×1/2×(2×1/2×1/2)=1/8
よって条件付確率は⑶の答えと合わせて(1/8)/(7/32)=4/7
大問４（難易度★★☆☆☆）
⑴
循環小数の超基本問題。中学生でもできますね。
⑵
48y=2ab-2(7)となるから、
48y=2×7^2+a×7+b-2
よってy=(96+7a+b)/48
(ⅰ) 題意の時、分子である96+7a+bは12の奇数倍となります。
96=12×8であるから、7a+bが12の奇数倍であればよい。
a,bは0から6の整数であるから、7a+bが12の奇数倍のとき7a+b=12,36の2通りしかない。
よってこのときy=9/4,11/4
(ⅱ)y-2=(7a+b)/48であるから、題意の時7a+bは24以下の48の正の約数となる。
a,bは0から6の整数であることとa≠bであることを考慮すると7a+b=1,2,3,4,6,12のとき6通りある。
大問５（難易度★★☆☆☆）
最初の問題はチェバの定理とメネラウスの定理を使えばいいです。そのあとの面積比は辺の比からすぐに出せます。
円に内接した時は方べきの定理を使いましょう。
方べきの定理の逆を用いてG,B,C,Eが同一円上であることを言えれば、∠AEG=∠ABCとわかります。
【2020年度】センター試験の数学IIBは難化？易化？
結論やや難化だと思います。
それでは大問ごとに見ていきましょう。
大問１（難易度★☆☆☆☆）
[1]
(1)言われた通り計算するだけですね
(2)(sin+cos)^2=sin^2+2sincos+cos^2=1+2sincosであるから、解と係数の関係より出したsin+cosとsincosを代入しましょう。
kを代入すればx=3/5,4/5となるので、sin>cosよりsin=4/5,cos=3/5
図を書けばθの範囲もすぐに分かりますね。
[2]
(1)指数の基本的な式変形の問題ですね。
与えられた式を2乗したり、出てきた答え同士をかけたりして求めたい式が出てくるようにしましょう。
(2)logの基本計算ができていれば問題ないです。
X,Yの式にしてからは1次の不等式問題として見れるので、あとは簡単ですね。
大問２（難易度★★☆☆☆）
(1)接線の傾きは微分すればわかりますから接線の式はすぐに出せます。
2つの接線が等しいとして係数を比較しましょう。
(2)位置関係を把握して積分するだけですね。
(3)CとDの交点のx座標がaであり、x=1がそれよりも左側ならaとは無関係になるので、a>1のときT=1/3
そうではないときはaによってTは変化することになるが、普通に積分すればTは求まりますね。
(4)Uはaの関数になるので、aで微分して最大値を求めましょう。
大問３（難易度★★★★☆）
(1) n=1を代入してa2を求めます。
(2) 初項は代入するだけ。両辺を割った結果は普通に計算してくれれば大丈夫です。
bnの階差数列が分かったので、このΣを取ることとします。
第一項は書き下すとほとんどの項が互いに打ち消しあうことが分かります。
第二項は等比数列の和の公式を使います。
これらを足し合わせたものがbnです。
(3) anの定義からanはすぐに求まります。
このとき連続する2整数の積は偶数であることよりanは整数だとわかります。
anの第一項が3の倍数であることから、anを3で割った余りは第二項を3で割った余りとわかります。
n=3k,3k+1,3k+2のときで場合分けすると余りが分かります。
各項を3で割った余りの数列は0,0,1を繰り返すことから、9項おきに各項の和を3で和あった余りは0になります。
2020を9で割った余りは4であるから、2020項目までの和を3で割った余りは0+0+1+0=1
大問４（難易度★★☆☆☆）
(1) 計算するだけ。
(2) ①の条件に当てはめて計算します。
(3) CB=OB-OC=(2/3)OAより、CBとOAは並行であるが、長さは異なるのでこれは正方形にも長方形にも平行四辺形にもならないが、台形である。
面積は図を書いて普通に計算します。
(4)OD=(x,y,1)とおいて条件に当てはめてx,yを定めます。
なす角は内積の定義から求めましょう。
ここから先は空間を立体的に把握する必要があり、この四面体の高さはDからOCの距離であるから高さhはh=ODsin60°=√3
よってABCの面積から四面体の体積も求まります。
最後に・・・
いかがだったでしょうか。
センター試験は入試の通過点にすぎませんから、各大学の試験本番に向けてラストスパート頑張りましょう。
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