【数学の悩み】なぜ数学の証明問題は難しい?

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数学の証明問題が苦手!どうして?

数学における証明問題とは

 数学において、入試問題や定期テスト問題でよく出題される問題の傾向として「証明問題」いうものがあります。これは計算問題とは対極にある存在であり、論理的に数学のある事実・性質を証明するものです。大学で扱うような先端数学ではこの証明が多くの研究で登場しますし、理系大学などではこの能力を試すことを狙って証明問題を多く出題する傾向にあります

 

 

計算や導出の問題に対する証明問題の難しさ

 計算・導出問題はいわゆる問題文に書かれていない値を導き出す問題です。例えば、「和が8となるような二組の素数をすべて求めよ」という問題の答えは「3と5、または5と3」ですが、これは特に問題文には書かれていません。つまり、何もヒントのない状態から正答を導き出さなければならないという特徴があります。一方で証明問題は値を導くのではなく数学の性質についての命題を示すものですが、例えば先の例を用いると「和が8となるような二組の素数は3と5または5と3のみであることを示せ」といったものになります。つまり結果が既に与えられている状態であり、そして結果が正答のヒントとなっているのです。

 一方で証明問題は結果が直接的なヒントとなることもあって、計算問題に比べると比較的難しい数学的思考を迫られる場合があります。なにより計算過程などをごまかすという計算問題の裏技的解法が通用しないことも多く、最終的に求める答えが存在しないため正しい値を導き出していることが点数の大きな配分を占めているわけではありません。さらには計算問題では式を書くことが多いですが、証明問題では採点者を納得させるために文章を正しく記述しなければならない場面が多いのです。

 そもそも証明問題は非常に取っ掛かりにくい厄介さを見せてくることもあります。例えば難関大学の入試問題では誘導などのヒントが一切なく、また示す命題も難しくヒントになりにくいということがしばしばあります。

 

 

 

証明問題で意識すべきこと1:示すべきものを逆算して考える

 何度もいいますが、証明問題は命題というゴールが与えられています。これを逆手に取れば、ゴールから逆走していけばいつかスタートにたどり着くとも言えます。どういうことかというと、まずはじめに「問いの命題が成立するためにはどのような命題が成り立っていなければならないのか」を考え、さらに「ここで導き出した命題が成り立つために必要な命題は何か」をどんどん考えていくということです。これを繰り返していけば、いずれは自分が何をすればいいのかがわかってくるはずです。注意すべきは解答はスタートから書かなければならないということです。まだ示せていないゴールから解答に書いては証明問題の答えにならなくなってしまいますから、あくまでも思いついた命題のルートをスタートから順繰りに考えていく必要があります。

 

 

証明問題で意識すべきこと2:解くうえで必要な知識を探す

 証明問題ではしばしば解答中に壁のような箇所にぶつかります。これを示さなければ正しい答えが書けないのになかなか難しくて手が進まない、こうしたことはよくあることです。この場面では前問の誘導問題や数学の有名な知識を用いると解決することがあります。特にこの手法は図形と数式の関連性が密接な問題で多くみられます。うまく定理をはめ込むことで正答への道筋が一気に見えてくること可能性が存在するのです。

 

証明問題で意識すべきこと3:無理して完答しようとせず、部分点を狙う

 前述したように最終的な答えが重視されやすい計算問題と異なり証明問題は論理構築の全体的な完成度が重要視されます。逆に言えば、多少の抜けがあってもそれ以外の箇所で誤りがなければ減点のダメージを少なく抑えることができるのです。ですから、もし証明の記述中に詰まった箇所があったとしても、とりあえず該当箇所は一旦飛ばして証明を書き上げてもある程度は点数が入ります。むしろ、そこに時間をかけすぎて書ききれないリスクを大きくしすぎても危険です。

 

 

証明問題で意識すべきこと4:命題に当てはまる簡単な例を探す

 この手法はとりわけ数Bの数列や数Aの整数の性質で役立つ方法でしょう。簡単な例にこそその問題の本質が隠れていることは案外多いです。例えば数列の一般項の証明において、小さな自然数をとりあえず代入して性質を確かめることで何をすればいいのかが見えてくることがあります。難関大学の入試問題であっても通用することは多く、なかなか侮れないテクニックと言えるでしょう。

 

 

まとめ:演習量を積み、証明問題へどう挑めばいいかを身に着けよう

 論理構築は数学の問題の中でもとりわけ難しい部類に入る問題です。計算が得意だとしてもそれだけでは対応しきれないことも多いので、ぜひ多くの問題を解いてみましょう。その過程でこれらのテクニックを思い出して使ってみると証明問題のコツが少しずつ掴めてくるかもしれませんよ!

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