武田塾可児校講師の「大学入試数学良問の解法」 -その1-

可児校・

武田塾可児校講師の「大学入試数学良問の解法」   -その1-

皆さん こんにちは! 武田塾可児校です。

 

今回は、大学入試における数学の過去問の中で、解く価値がありそうな良問の内、

 

2014年度に京都大学で出題された問題を紹介します。

 

この問題は、旧帝大中心によく出題される「整数」に関するものですが、先ずは

 

自分の力だけで解いてみましょう

 

(1) 自然数 a, bはどちらも3で割り切れないが、a³ + b³ は81で割り切れる。

 

    このような a, bの組 (a, b)のうち、a² + b²  の値を最小にするものと、

 

    そのときの a² + b²  の値を求めよ。

 

どうでしょうか。 

解けそうですか? 

解法は思い浮かびますか?

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大手予備校の分析ではこの年の京大6問の中では、「やや難」ということになっていますが、

 

皆さんの感覚はどうですか?

私が解いてみたところでは、比較的解き易いように感じますので、むしろ「やや易」ぐらい

 

といってもいいように思います。

 

では、一つの解法例を示します。

 

<解法例>

a, bはどちらも3で割り切れない自然数で、

 

( a + b)³ = a³ + b³+ 3 a b ( a + b)     ----- ①

 

①式の右辺において、a³ + b³が81で割り切れ、3 a b ( a + b)は3の倍数だから、

 

( a + b)³ は3で割り切れる。 

 

よって、自然数をcとして、 a + b = 3c   ----- ②

 

と表せる。

 

②を①に代入すると、 27Ⅽ³ = a³ + b³ + 9abc となり、

 

9abc = 27c³ – (a³ + b³)     ----- ③

 

ここで、a³ + b³は81で割り切れることから、③の右辺は27で割り切れる。

 

よって③より、abcは3で割り切れるが、a, bはどちらも3で割り切れないので、

 

c は3で割り切れる。

 

そうすると、③の右辺は81で割り切れることになる。

 

よって、cは、9で割り切れる。

 

従って、②式より、a + bは、27で割り切れる。

 

故に、a² + b² の値が最小のとき、a + b = 27 ----- ④ となる。

 

④式より b = 27 – aとなり、これを a² + b² に代入すると、

 

a² + b² = a² + ( 27 – a )² = ( a – 27/2 )² + 729/2

 

a, bは自然数だから、a² + b² は、a =13,  b =14 か、a =14,  b =13のとき

最小となり、

その最小値は 13² + 14² = 365 となる。

 

どうですか、難しくないでしょ!

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