武田塾可児校講師の「大学入試数学良問の解法」　－その１－

武田塾可児校講師の「大学入試数学良問の解法」　　　－その１－

皆さん　こんにちは！　武田塾可児校です。

今回は、大学入試における数学の過去問の中で、解く価値がありそうな良問の内、

2014年度に京都大学で出題された問題を紹介します。

この問題は、旧帝大中心によく出題される「整数」に関するものですが、先ずは

自分の力だけで解いてみましょう

（１）　自然数 a, bはどちらも3で割り切れないが、a³ + b³ は81で割り切れる。

　　　　このような a, bの組 (a, b)のうち、a² + b² の値を最小にするものと、

　　　　そのときの　a² + b²　　の値を求めよ。

どうでしょうか。　

解けそうですか？　

解法は思い浮かびますか？

大手予備校の分析ではこの年の京大６問の中では、「やや難」ということになっていますが、

皆さんの感覚はどうですか？

私が解いてみたところでは、比較的解き易いように感じますので、むしろ「やや易」ぐらい

といってもいいように思います。

では、一つの解法例を示します。

＜解法例＞

a, bはどちらも3で割り切れない自然数で、

( a + b)³ = a³ + b³+ 3 a b ( a + b)     ----- ①

①式の右辺において、a³ + b³が81で割り切れ、3 a b ( a + b)は3の倍数だから、

( a + b)³　は3で割り切れる。　

よって、自然数をcとして、　a + b = 3c   ----- ②

と表せる。

②を①に代入すると、　27Ⅽ³ = a³ + b³ + 9abc　となり、

9abc = 27c³ – (a³ + b³)     ----- ③

ここで、a³ + b³は81で割り切れることから、③の右辺は27で割り切れる。

よって③より、abcは3で割り切れるが、a, bはどちらも3で割り切れないので、

c は3で割り切れる。

そうすると、③の右辺は81で割り切れることになる。

よって、cは、9で割り切れる。

従って、②式より、a + bは、27で割り切れる。

故に、a² + b²の値が最小のとき、a + b = 27　----- ④　となる。

④式より b = 27 – aとなり、これを　a² + b²に代入すると、

a² + b² = a² + ( 27 – a )² = ( a – 27/2 )² + 729/2

a, bは自然数だから、a² + b²　は、a =13,  b =14 か、a =14,  b =13のとき

最小となり、

その最小値は　13² + 14² = 365 となる。

どうですか、難しくないでしょ！

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