色々な不等式【数学テクニック紹介Part2】

皆さん、お久しぶりです！相模原の大学受験予備校、武田塾橋本校で講師をしています、東京大学のTです。引き続き、数学のテクニックを紹介していこうと思います。今回も、なかなか適用範囲の広い良質なテーマを用意しましたので、ご期待ください。

さて今回のテーマは、「不等式」です。不等式と一口に言っても、たくさんありすぎて伝わりませんよね。今回扱う不等式は、「相加相乗平均」と「コーシー・シュワルツの不等式」です。「名前くらいは聞いたことあるよ」という方も多いのではないでしょうか？例によって、マニアックすぎて使えないものや、難しすぎるものもあると思いますが、適当にお付き合いください。

なお、スペースや時間の都合上、紹介したいのに省いてしまっている不等式がいくつもあります。気になる方は次の不等式を検索してみてください。
・ミュアヘッドの不等式(Muirhead)
・ヘルダーの不等式(Hölder)
・シュールの不等式(Schur)
いずれも、数学オリンピックレベルの非常に難しい内容ですが、面白いです。僕もほとんど使いこなせません……。

相加相乗平均

突然ですが、相加相乗平均の不等式、正式名称は「相加平均と相乗平均の大小関係」と言うらしいですよ。高校のとき、用語にうるさい数学の先生が力説していました。

みなさんがよくご存知の相加相乗平均の不等式は、次のようなものでしょう。正しく覚えられているでしょうか？

aとbが非負のとき、

ただし、等号成立はa=bのときのみである。

これは、次のように書き直すことが出来ます。

aとbが非負のとき、

ただし、等号成立はa=bのときのみである。

おやっ……？なんだか一般化してほしそうな形をしていますね。
まあ御察しの通り一般化できるんですが。3文字、4文字の場合は次のようになります。いずれも、a,b,c(,d)が非負のとき成立し、等号成立条件はa=b=c(=d)です。

実は、何文字の場合でも成立するのですが、列挙するとスペースが無限に必要なので省きます。以下に、2文字と3文字の場合の証明の概要を軽く示しておきます。

（証明概要）

2文字の場合、次を示せば十分。

これは、次のように式変形できる。

3文字の場合、次を示せば十分。

これは、次のように式変形できる。

ここで、因数分解の公式を用いて、次のように変形する。

a,b,cはそれぞれ非負であったので、上式左辺のふたつ目のカッコ内が非負であればよいが、これは以下の式により示される。

（証明概要終）

さて、実は、相加相乗平均の不等式が何文字でも成立することがわかると、次の「重み付き相加相乗平均」というのも示すことができます。ただし、次に示すp_1,...,p_nが有理数のみの場合は簡単な拡張なのですが、無理数の含まれる場合を示すのはもう少し厳密な議論が必要となります。

非負実数x_1,...,x_n及びp_1+...+p_n=1なる正実数p_1,...,p_nに対して

が成り立つ。等号が成り立つのはx_1=...=x_nの場合である。

コーシー・シュワルツの不等式

さて、ここまでスクロールしたあなた、以前コーシー・シュワルツの不等式に触れたことがありますね？そうでなくても、数学を使う受験生にはぜひ知っておいて欲しい不等式です。

まずは最も有名な場合の、不等式の形を書いておきます。各文字は全て実数として、

これらはいずれも、2次元、3次元ベクトルについての次の不等式

の成分の書き下しになっています。
等号成立条件は、この2つのベクトルが平行であることです。

一般化された形がとても想像しやすいと思います。上のベクトルについての不等式を、n次元の場合で考えてやればよく、

となります。

こちらも、証明は概要で済ませようと思います。

iとjを相違なる整数として、

が相加相乗平均の不等式より成立しますから、これを1≦i<j≦nとして両辺の和を取ると、上の一般化された不等式の一歩手前まで導けます。
等号成立条件は、全てのiとjについてa_ib_j=a_jb_iですから、aベクトルとbベクトルが平行というのもわかると思います。

略しすぎたので、「良くわからないぞ！」という方は、ぜひ武田塾橋本校までいらしてください。新しくなった校舎でお待ちしています。

さて、ここまで2つの有名な不等式を拡張してきましたが、この不等式たちは、生かすも殺すもあなた次第です。不等式の問題は、様々な別解がありますので、今まで見たことのある不等式でも、これらを使ってエレガントに、スピーディに解けるかもしれませんね。

要望があれば、練習問題なんかを特集しようと思いますので、声をかけてください。お待ちしています。

学年が新しくなってから、そろそろ3か月ですね。新たな生活リズムには慣れましたか？梅雨も明け、夏休みの足音も近づいています。「受験の天王山」を乗り越えるべく、体調にしっかり気をつけて頑張ってください！

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