【意外とできない】数学的帰納法は難しい?いいえ、簡単です!
数学的帰納の問題、はっきり差が出るよ
こんにちは。京阪出町柳駅から徒歩2分にある、武田塾出町柳校です。
みなさん、数学は得意ですか?苦手ですか?
僕は得意でした。と言っても「めちゃくちゃできる」といった具合ではなく、「他の科目よりは模試の偏差値が高いことが多かった」という程度です。どちらかというと得意くらいのやつです。
なんでそんなことになっていたのでしょうか。僕的考察によると、模試に出たときにほぼほぼ解ける問題があったからです。それが、お察しの通り数学的帰納法による証明の問題です。
僕はよく数学の答案の採点・添削をするんですが、数学的帰納法の答案がちゃんと書けない子が多い!びっくりしました。理論上、そりゃあできない人もいるもいるでしょうけど、まさかこんなに多いとは…。でも、ということは、帰納法をマスターすればそれだけで周りと差をつけられるんです!
ということで、今回の記事は
数学的帰納法をマスターしちゃおう!
という内容です。
必見!
そもそも数学的帰納法って何してんの?―導入編
みなさん、ドミノ倒しをやったor見たことありますか?ドミノ牌が連鎖的に倒れていく光景には感動すら覚えます。ドミノ倒しは1枚目のドミノを倒すところから始まります。1枚目のドミノが2枚目のドミノを倒し、2枚目のドミノが3枚目のドミノを倒し、3枚目のドミノが4枚目のドミノを倒し・・・そしてk枚目のドミノがk+1枚目のドミノを倒します。
この流れ、どこかで見たことがある気がしますね。そう。言うまでもなく、数学的帰納法です。
ということで、君も今日から数学的帰納法マスターだ!
と言いたいのですが、これだけでは流石に説明不足感が否めませんね。もう少しちゃんと説明します。
数学的帰納法の流れ
最初にとても大事なことを言います。
やることはいつも同じです。だから数学的帰納法は簡単なんです。
nが絡む証明問題はまず帰納法をやってみる。そのくらいのスタンスで良いと思います。
① n=1のときに命題が正しいことを言う ② n=kのときに命題が正しいと仮定する。そのとき、n=k+1でも命題が正しくなることを示す。 |
以上。
終わりです。これだけです。
何も複雑なことはしていません。
皆さんが持っている参考書にも一題は絶対に帰納法を使う問題はあると思います。その解答の進行を覚えてください。この先必ず役に立つ時が来ます。
そもそも帰納法って何してんの?―本編
①は②のための仕掛けです。伏線みたいなものです。とりあえずn=1では正しいということを書いておきましょう。多分部分点くらいならもらえます。もらっときましょう。
で、②です。②が何を言っているかというと、要するに「n=kで成り立つならn=k+1でも成り立たせるぞ!」っていうことを言っています。これに①がどのように活きるのか。
例えば②のkに1を入れた場合は何が起こりますか?n=k+1=2でも命題が正しいことが言えますね。n=2のときに正しいことがわかったので、次は②のkを2として考えてみましょう。するとn=3でも正しいことがわかります。じゃあ、次は②のkを3として考えてみましょう。するとn=4でも正しいことがわかります。(以下無限ループ)
あれ、全ての自然数で命題が正しいことが言えちゃいました。わーいわーい。おめでとう。ありがとう。
ということで、さっきのドミノ倒しの話と繋がります。
「 1枚目のドミノを倒す」=「n=1で命題が正しいことを示す」
「連鎖的にドミノが倒れていく」=「n=kのときに命題が正しければ、n=k+1でも命題が正しいことを示す」
やっぱり数学的帰納法はドミノ倒しにそのものですね。
こんなパターンもあるよ
・2つ仮定するパターン ←まあまあ良く出る、思い付きやすい
以下手順
① n=1,2のときに命題が正しいことを示す。
② n=k,k+1のときに命題が正しいと仮定する。このとき、n=k+2でも命題が正しいことを示す。
終わり。
・k以下のnを全て仮定するパターン ←あまり出ない、思い付きづらい。
以下手順
① n=1のときに命題が正しいことを示す
② n≦kとなるnで命題が正しいと仮定する。このとき、n=k+1でも命題が正しいことを示す。
終わり。
どっちもやってること、原理は普通の帰納法と変わりません。つまり余裕です。この記事を読んだ皆ならできる!はず。
↓こちらの動画も参考までに。
数学の点を伸ばしたい!そんな君へ
やはり演習量は正義です。質も大事だけど量も大事です。
とても良い動画です。
「完全な理解はしていないけど解ける」という問題を増やすことは自分にとってプラスでしかありません。これを可能にするのって、演習量以外にないんですよね。
「そんなこと言われてもそもそも演習の時点で問題が解けないよ」という方。それでもいいんです。なら正しい解答を書き写すことから始めてください。それを繰り返せば解ける問題は必ず増えます。必ずです。
正しく努力してください。信じる者は救われます。
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