不思議な期待値の話。期待値が無限！そんな賭けあるの？

みなさん期待値って何か知っていますか？

知っている人はたくさんいると思います。

今回はその期待値の不思議なお話をしたいと思います。

 

期待値って何？

まず期待値とは。

辞書を引くと、

 

1.  A₁,A₂,…,A_nの起こる確率がp₁,p₂,…,p_nであり、それらが起こった場合にx₁,x₂,…,x_nの値をとるとき、x₁p₁＋x₂p₂＋…＋x_np_nの値をいう。例えば、くじ引きで、1本のくじに期待しうる賞金の平均化した値。

2. 《1から転じて》物事に対する期待の度合い。「次の政権に対する期待値が高い」

(goo辞書)

1.でとても簡単に説明してくれています。

数学的には

このように定義することができます。

連続分布は連続な値の分布で離散分布は不連続な値の分布になります。

すべての実数の分布は連続分布になりますし、すべての整数の分布は離散分布になるみたいな感じです。

厳密にはもっと難しいので気になる人は調べてみてください。

簡単な例

次に簡単な例を見ていきましょう！

今日は離散分布を考えていきます。

1. 宝くじの期待値

1回200円の宝くじがあったとします。

その宝くじは、当選額0円のくじが9500枚、当選額50円のくじが450枚、当選額2000円のくじが40枚、当選額10000円のくじが4枚、当選額50000円のくじが3枚、当選額500000円のくじが2枚、当選額1500000円のくじが1枚だとします。

あなたはこの宝くじを引きますか。

元が取れる確率なんて50/10000×100%=0.5%しかないよ！損するだけだしやらない！

このように思うかもしれません。

ちょっと待ってください!

分からないじゃないですか。

ここで期待値を求めてみます。

この宝くじの期待値は200円より大きいことがわかります。

つまり平均して一回のくじ引きで200円以上手に入れることができるのです。

これは挑戦したほうがよさそうではありませんか？

平均して200円以上という事はすべてのくじを買えば絶対に得をします。

ちなみにあの有名な宝くじは還元率は50%程度つまり期待値も1枚の値段の半分程度でしょう。

 

トランプの期待値

トランプでゲームをやるとします。

今からいう状況を想像してみてください。

・ゲームの途中でありまだ勝敗はつかないとします。

・相手の数字は8であるとします。

・自分の持っている数字は7です。

・今あなたはトランプを引くか引かないか決めることができます。

・残りのトランプは1.2.3.4.5.6.9.10.11.12.13です。

・すべてのトランプの引く確率は等しいとします。

・(あなたの得点)=((あなたの持っている数字)-(相手の数字))になります。

ここであなたはトランプを引きますか？

この勝負だけで勝敗がつき点数の高いほうが勝つならば、絶対に引くでしょう。

ただ、まだまだゲームが続く場合、無理して点差が広がるといけないので考えどころになるでしょう。

ここで期待値を考えてみましょう。

期待値は-1より小さいことがわかります。

平均して一回引くと獲得する点数は-1より小さくなってしまいます。

すなわち、現時点で-1点であるのでトランプを引かないのが賢明な判断でしょう。

 

期待値が無限

いよいよ本題に入ります。

あなたはコインを投げるとします。

コインの裏表が出るそれぞれな確率はともに1/2とする。

n回目に初めて表が出たときに2^n円受取るというかけをする。

このかけの期待値を求めてみましょう。

最初に表が出る確率は1/2、二回目に初めて表が出る確率は最初に表が出ているので1/2×1/2=1/2^2。

このように考えるとn回目に初めて表が出る確率は1/2^nとなります。

そして期待値は以下のようになる。

なんと期待値が無限になりました。

サンクトペテルブルクの賭け

この賭けをサンクトペテルブルクの賭けと言います。

期待値が無限になるためどんなにお金をかけてもこの賭けをするべきであることになります。

しかし、よく考えてみましょう。

もし10万円用いて賭けに参加したとします。

約8000円以下のお金しか返ってこない確率は約7999/8000なのです。

そんなに得ではないというのがこの問題のパラドックスになります。

この賭けは

サンクトペテルブルクのパラドックスともいわれています。

なぜこんなパラドックスが起きるのか

詳しくは調べてみたりしてください。

この問題には無限の賞金があります。

しかし実際に世の中では賞金には限度額があります。

そこでパラドックスが起きてしまうのです。

この賭けに限度額を設けてみましょう。

限度額を1048576円とします。

期待値が20円となりました。

現実的な値になりましたね。

まとめ

サンクトペテルブルクの賭けは期待値が無限になります。

面白いですよね。

詳しくは説明しませんでしたがここまでとしておきます。

より深く知りたい人は本を読むべき！

自分の興味から学習につながります。

学習って面白いでしょ！！

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